matematikk.net

Hei! Jeg sitter å øver til prøve å stusser på en ting.

I en eske Liptons grønn te er det 20 poser. Vekten til hver pose antas å være normalfordelt med forventning = 1.30 gram og standaravik = 0.05gram

a) Finn sannsynligheten for at en vilkårlig valgt tepose veier over 1,32gram.

Denne er grei. Får P(tilfeldig tepose over 1.32gram) = 0,3446

c) Finn sannsynligheten for at minst 3 av 5 tilfeldig valgte teposer veier over 1,32gram.

Her har jeg brukt hypergeometrisk fordeling, siden jeg mener at sannsynligheten kan ikke være den samme i hver enkelt trekning, eller?
Dette er tydeligvis feil tankegang siden i løsningsforslaget som læreren min har lagt ut står det at dette er binomisk fordeling. Dvs at sannsynligheten er den samme i hver enkelt trekning. Hvordan kan den være det?

Måten jeg regnet på hypergeomterisk var at jeg tok 20*0,3446 = ca 7. Jeg antar da at det er 7 teposer som veier over 1.32gram i en eske med 20.
Får da P(minst 3 av 5 tilfeldig valgte teposer veier over 1,32gram) = 0,206

Regner jeg binomisk får jeg = 0,2268

ca 0,02 i forskjell.

Men altså det jeg lurer på er hvorfor dette er binomisk og ikke hypergeometrisk? Kan ikke forstå at dette er med tilbakelegging? Tolker jeg oppgaveteksten feil?

Håper på en avklaring på dette!

La p være sannsynligheten for at en tepose er over 1.32 gram.

Vi nummererer teposene: [tex]t_1,t_2,t_3,t_4,t_5[/tex].

Sannsynligheten for at pose [tex]t_1[/tex],[tex]t_2[/tex] og [tex]t_3[/tex] er over 1.32 gram og de resterende ikke er det, er [tex]p^3(1-p)^2[/tex].

Antall måter å plukke ut 3 av 5 er [tex]{5 \choose 3 }=10[/tex]. Dermed er sannsynligheten for at eksakt tre poser er over 1.32 gram:

[tex]10p^3(1-p)^2[/tex].

Generelt er altså sannsynligheten for at n av 5 teposer er over 1.32 gram:

[tex]{ 5\choose n} p^n(1-p)^{5-n}[/tex], altså binomisk fordelt.

Svaret på spørsmål c) blir derfor

[tex]\sum_{n=3}^5 {5\choose n} p^n(1-p)^{5-n}[/tex]

Du har en binomisk situasjon hvis følgende tre punkter er oppfylt:

1. Hvert forsøk har to mulige utfall.

Et forsøk er i dette tilfellet å trekke ut en tepose. Denne teposen kan enten veie mer enn 1,32 gram, eller ikke. Altså to mulige utfall.

2. Hvert forsøk har lik sannsynlighet.

Du trekker ut en tepose. Denne har sannsynlighet 0,3446 for å veie mer enn 1,32 gram. Trekk en tepose til. Denne har også sannsynlighet 0,3446 for å veie mer enn 1,32 gram. Osv.

3. Forsøkene er uavhengige.

Du trekker ut en tepose. Hva denne teposen veier har ingenting å si for hva den neste teposen veier.