matematikk.net

Hei! Jeg har to spørsmål jeg grubler på.

Det ene spørsmålet ber meg å "bevise" at en funksjon er kontinuerlig for hele definisjonsområdet sitt. Jeg kan selvsagt argumentere for at vi vet at funksjonen er sammensatt av kontinuerlige, reelle funksjoner og at disse er kontinuerlige i hele Df, men det er jo strengt tatt ikke et bevis.

Derfor luerer jeg på hvordan man mer generelt kan bevise at en funksjon er kontinuerlig i et intervall (åpent eller lukket).

Det andre spørsmålet er mer spesifikt, her aner jeg ikke hva jeg skal gjøre
Gitt [tex]f: [-sqrt{\pi}, sqrt{\pi}] \rightarrow [-1, 1][/tex] definert ved [tex]f(x)=sin(x^2)[/tex]

Finn en [tex]\delta[/tex] slik at [tex]|x-y|<\delta \rightarrow |f(x)-f(y)|<0.1[/tex] for alle x og y i [tex][-sqrt{\pi}, sqrt{\pi}][/tex]

Håper noen har noe input:) Takk

Det å bevise at en funksjon er kontinuerlig i hele definisjonsområdet sitt kan du fint gjøre ved å vise at den er sammensatt av funksjoner du vet er kontinuerlige, men hvis du skal vise noe 'fra grunnen av' eller liknende må du nesten da vise at for enhver [tex]X[/tex] i definisjonsområdet og for enhver positiv epsilon kan du finne en passende delta. Du gjør dette akkurat som 'vanlig', men forskjellen er bare at istedet for å vise dette for et bestemt punkt i definisjonsmengden viser du det for et generelt.

Eksempel: Hvis funksjonen din er [tex]f(x)=x^2[/tex] definert på hele R sier du for eksempel at om X er et reelt tall er [tex]|f(X)-f(x)|=|X^2-x^2|=|X+x||X-x|<(|X|+|x|)|\delta|[/tex]. Om du så sier at du velger [tex]\delta[/tex] til å være såpass liten at [tex]|X|+|x|\leq2|X|[/tex] for alle [tex]x[/tex] slik at [tex]|X-x|<\delta[/tex] (dette lar seg gjøre hvis X ikke er null, så det tilfellet må du vise spesielt) har vi videre at [tex](|X|+|x|) \delta < 2|X|\delta[/tex], og nå velger vi bare [tex]\delta[/tex] til å være mindre enn [tex]\frac \epsilon {2|X|}[/tex] og er ferdige.

For det andre spørsmålet ditt var denne oppe for ikke så lenge siden: http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... hp?t=26376[/url]

Takk, der reddet du livet mitt