matematikk.net

Hei! Sitter helt fast på en innlevering i matte her. Oppgaven er som følger:


Oppgave 4. Gitt f : [− sqrt π, sqrt π] → [−1, 1] definert ved
f (x) = sin (x^2) .


(b) Finn en δ slik at |x − y| ≤ δ impliserer at |f (x) − f (y)| ≤ 0.1 for alle x og y i
[- [symbol:rot] [symbol:pi] , [symbol:rot] [symbol:pi] ]


Kommer ingen vei, noen som kan gi litt tips på hvordan man bør gå frem?

Du skal bruke definisjonen av kontinuitet for funksjoner.
Du har fått oppgitt en konkret epsilon: 0.1.

Slå det opp i læreboken og se om du kommer noen vei.

Joda, jeg vet hva jeg kan sette opp

| sin (x²) - sin (y²)| <= 0.1

og | x - y | < [symbol:diff]

Kan jo eventuelt sette inn x = y + [symbol:diff] , men uttrykket blir jo uansett ikke noe penere. Har også forsøkt å bruke trekantulikhet, men sitter virkelig helt fast.

Hint:

[tex]|\sin x -\sin y| \leq |x-y|[/tex]
for alle [tex]x,y \in \mathbb{R}[/tex]

Hvordan tenker du for å få:
[tex]|sinx - siny| \leq |x-y|[/tex]

Mener den kan vises ved vanlige analyseteknikker (middelverdiulikheten, f.eks), men her er ihvertfall et "trigonometrisk" bevis:

Vi legger merke til at [tex]\sin(x-y)=2\sin(\frac{x-y}{2})\cos(\frac{x+y}{2})[/tex]. Dette er lett, men veldig kronglete å vise. Det er bare gjentatt bruk av formlene for [tex]\sin(x+y)[/tex] og [tex]\cos(x+y)[/tex].

Legg også merke til at [tex]|\sin x| \leq |x|[/tex] for alle x. (vises lett ved å betrakte de deriverte)

Fra dette følger at
[tex]|\sin(x-y)|=2|\sin(\frac{x-y}{2})\cos (\frac{x+y}{2})| \leq 2|\sin(\frac{x-y}{2})| \leq 2\frac{|x-y|}{2} =|x-y|[/tex]

Men |sin(x[sup]2[/sup]) -sin(y[sup]2[/sup])| er da ikke det samme som |sin(x-y)| ?

Nei, men ulikheten gjelder for alle x, og da selvfølgelig også for [tex]x^2[/tex].

Takk!

Den kan vises ved middelverdisetningen, men man ser det også om man bare tegner opp enhetssirkelen. Nå har jeg fått den til! Lettende!:)

AndreasSol skrev:Takk!

Den kan vises ved middelverdisetningen, men man ser det også om man bare tegner opp enhetssirkelen. Nå har jeg fått den til! Lettende!:)

Hei! Hvilket svar endte du med? Jeg sliter med samme oppgave, og fikk delta = 0.1/(2*sqrt(pi)) ved bruk av middelverdisetningen. Jeg er imidlertid svært usikker på om framgangsmåten min var riktig, og det hadde vært greit med en pekepinn nå som innleveringsfristen nærmer seg.

Det er riktig at maksimumsverdien av den deriverte er 2 [symbol:rot] [tex]\pi[/tex]. Men for å få et finere svar er det like bra å velge [tex]\delta = 0.1/4[/tex].

Altså sette "max" av den deriverte til å være 4. Da får du at [tex]|f(x)-f(y)| \leq 4|x-y|[/tex]

FredrikM skrev:Mener den kan vises ved vanlige analyseteknikker (middelverdiulikheten, f.eks), men her er ihvertfall et "trigonometrisk" bevis:

Vi legger merke til at [tex]\sin(x-y)=2\sin(\frac{x-y}{2})\cos(\frac{x+y}{2})[/tex]. Dette er lett, men veldig kronglete å vise. Det er bare gjentatt bruk av formlene for [tex]\sin(x+y)[/tex] og [tex]\cos(x+y)[/tex].

Legg også merke til at [tex]|\sin x| \leq |x|[/tex] for alle x. (vises lett ved å betrakte de deriverte)

Fra dette følger at
[tex]|\sin(x-y)|=2|\sin(\frac{x-y}{2})\cos (\frac{x+y}{2})| \leq 2|\sin(\frac{x-y}{2})| \leq 2\frac{|x-y|}{2} =|x-y|[/tex]

Her er det sneket seg inn en stygg feil. Det skal vel konsekvent stå [tex]\sin(x)-\sin(y)[/tex] der det står [tex]\sin(x-y)[/tex]

Riktig det. (men det ser ut som om jeg regnet som om det stod det det skulle være)