Reelt integral ved residueteori.
Lagt inn: 10/09-2010 08:52
Hei
skulle regne ut et integral her, men jeg får feil svar og klarer ikke se hvor jeg gjør feil. Integralet er som følger
[tex]I = \int_0^\infty \frac{x^2}{(x^2 +1)(x^2 +4)} dx = \frac{1}{2}\int_{- \infty}^\infty \frac{x^2}{(x^2 +1)(x^2 +4)}dx[/tex]
der første steg følger av at funksjonen er lik, [tex]f(-x) = f(x)[/tex]. Ser på den komplekse broren og finner igjen det reelle integralet hvis jeg velger en lukket halvsirkel som går langs hele den reelle aksen og over i det øvre halvplanet.
C = C1 + C2 der C1 er den reelle aksen og C2 er en halvsirker i det øvre halvplanet. Med parametriseringen [tex]z = Re^{i \theta} \ \ 0 \leq \theta \leq \pi[/tex]. Ser da at
[tex]\oint_C \frac{z^2}{(z^2 +1)(z^2 +4)} dz = \int_{-\infty}^\infty \frac{x^2}{(x^2 +1)(x^2 +4)} dx + \int_{C_2} \frac{z^2}{(z^2 +1)(z^2 +4)}dz[/tex].
Ser videre på
[tex] \left| \int_{C_2} \frac{z^2}{(z^2 +1)(z^2 +4)}dz\right| \leq \frac{R^2}{R^4}\int_{C_2}|dz| = \frac{R^2}{R^4} R\pi \to 0 \ \text{naar} R \to \infty[/tex]
Så vi har derfor at
[tex]\oint_C \frac{z^2}{(z^2 +1)(z^2 +4)} dz = \int_{-\infty}^\infty \frac{x^2}{(x^2 +1)(x^2 +4)} dx = 2I = 2\pi i \sum_k Res(z_k)[/tex]
Singularitetene til f finner vi i [tex] z = \pm i[/tex] og [tex] z = \pm 2i[/tex] og dette er enkle poler hvor bare de som ligger i øvre halvplan er innenfor konturen. Beregner residuene:
[tex] Res(i) = \lim_{z \to i} \frac{z^2(z-i)}{(z-i)(z+i)(z-2i)(z+2i)} = \frac{i^2}{(2i)i(3i)} = -\frac{i}{6}[/tex]
[tex] Res(2i) = \lim_{z \to 2i} \frac{z^2(z-2i)}{(z-2i)(z+i)(z-i)(z+2i)} = \frac{4i^2}{(3i)i(4i)} = -\frac{i}{3}[/tex]
men da får jeg at
[tex] 2I = 2\pi i( -\frac{i}{2}) = \pi \Rightarrow I = \frac{\pi}{2}[/tex]
og svaret skulle bli [tex]I = \frac{\pi}{6}[/tex]. Hvor er feilen?
skulle regne ut et integral her, men jeg får feil svar og klarer ikke se hvor jeg gjør feil. Integralet er som følger
[tex]I = \int_0^\infty \frac{x^2}{(x^2 +1)(x^2 +4)} dx = \frac{1}{2}\int_{- \infty}^\infty \frac{x^2}{(x^2 +1)(x^2 +4)}dx[/tex]
der første steg følger av at funksjonen er lik, [tex]f(-x) = f(x)[/tex]. Ser på den komplekse broren og finner igjen det reelle integralet hvis jeg velger en lukket halvsirkel som går langs hele den reelle aksen og over i det øvre halvplanet.
C = C1 + C2 der C1 er den reelle aksen og C2 er en halvsirker i det øvre halvplanet. Med parametriseringen [tex]z = Re^{i \theta} \ \ 0 \leq \theta \leq \pi[/tex]. Ser da at
[tex]\oint_C \frac{z^2}{(z^2 +1)(z^2 +4)} dz = \int_{-\infty}^\infty \frac{x^2}{(x^2 +1)(x^2 +4)} dx + \int_{C_2} \frac{z^2}{(z^2 +1)(z^2 +4)}dz[/tex].
Ser videre på
[tex] \left| \int_{C_2} \frac{z^2}{(z^2 +1)(z^2 +4)}dz\right| \leq \frac{R^2}{R^4}\int_{C_2}|dz| = \frac{R^2}{R^4} R\pi \to 0 \ \text{naar} R \to \infty[/tex]
Så vi har derfor at
[tex]\oint_C \frac{z^2}{(z^2 +1)(z^2 +4)} dz = \int_{-\infty}^\infty \frac{x^2}{(x^2 +1)(x^2 +4)} dx = 2I = 2\pi i \sum_k Res(z_k)[/tex]
Singularitetene til f finner vi i [tex] z = \pm i[/tex] og [tex] z = \pm 2i[/tex] og dette er enkle poler hvor bare de som ligger i øvre halvplan er innenfor konturen. Beregner residuene:
[tex] Res(i) = \lim_{z \to i} \frac{z^2(z-i)}{(z-i)(z+i)(z-2i)(z+2i)} = \frac{i^2}{(2i)i(3i)} = -\frac{i}{6}[/tex]
[tex] Res(2i) = \lim_{z \to 2i} \frac{z^2(z-2i)}{(z-2i)(z+i)(z-i)(z+2i)} = \frac{4i^2}{(3i)i(4i)} = -\frac{i}{3}[/tex]
men da får jeg at
[tex] 2I = 2\pi i( -\frac{i}{2}) = \pi \Rightarrow I = \frac{\pi}{2}[/tex]
og svaret skulle bli [tex]I = \frac{\pi}{6}[/tex]. Hvor er feilen?
)