matematikk.net

Oppgaven lyder som følger:

Bruk det du kan om n-te røtter til å finne komplekse og reelle faktoriseringer av polynomet: z[sup]5[/sup] +1


z = -1 er et opplagt svar. Så jeg tok z[sup]5[/sup] +1[sup]1[/sup] / (z+1) og fikk svaret:
z[sup]5[/sup] +1 = (z+1) (z[sup]4[/sup] - z[sup]3[/sup] + z[sup]2[/sup]- z + 1)


Men fasit kommer selvsagt med et monster-svar... Så spørsmålet blir: hvordan omforme (z[sup]4[/sup]-z[sup]3[/sup]+z[sup]2[/sup]-z+1) til enkelt-faktorer?
- oppgave 3.5.1c fra "Kalkulus"

Du har z^5 + 1 = 0 som gir z^5 = -1
Dette kan du bruke De Moivre's formel på. Her vil z= -1 være en av de 5 løsningene til likningen...

...

Jeg har z[sup]5[/sup] = -1

På polarform blir dette: z = e[sup]i( [symbol:pi] +2 [symbol:pi] k)[/sup]

Da er: z[sup]5[/sup] = e[sup]i([symbol:pi] +2 [symbol:pi] k/5)[/sup]

Førsterota er da:

w[sub]0[/sub] = e[sup] [symbol:pi] /5[/sup]
- som ikke er -1


Hva gjør jeg for feil?

Du får -1 ved å velge k = 2.

Innså det akkurat nå Sliten....