matematikk.net

Vis at om a er en rot med multiplisitet >= 2 i det reelle polynomet f(x), så er a også rot i f'(x).

Oppgaven er hentet fra kalkulus, 3.5.10, men jeg sitter helt støkk fast. Har prøvd å se på hva som skjer med et polynom hvor roten a går igjen to ganger når man deriverer, men klarer ikke finne en generell regel.

Noen inspill? Takk for svar!

Man kan faktorisere et andregrads polynom [tex]f[/tex] hvis man har røttene [tex]r_1[/tex] og [tex]r_2[/tex] på følgende måte

[tex]f(x) = ax^2 + bx + c = a(x-r_1)(x- r_2)[/tex]

Siden [tex]f[/tex] i dette tilfellet har dobbeltrot setter vi [tex]r_1 = r_2[/tex] også kaller vi roten bare [tex]r[/tex] for enkelhetens skyld, da får vi at

[tex]f(x) = a (x-r)^2[/tex]

Kanskje du nå ser hva du kan gjøre?

Rotet meg litt bort i den deriverte av et polynom med n ledd, men nå som svaret er rett for nesen min, er det ikke så vanskelig å se takk

Jeg ser ut til å ha lest oppgaven litt for fort, brukte [tex]a[/tex] feil også huff og huff.

Vi har et [tex]n[/tex]'te grads polynom her ja

Da er som du vet [tex]f(x) = c_n x^n + c_{n-1}x^{n-1} + \ldots + c_0 = c_n(x-r_1)\ldots(x-r_n)[/tex]

Ikke minst er (hvis vi lar multiplisiteten til roten [tex]a[/tex] være [tex]m[/tex]) [tex]f(x) = c_n(x-r_1)\ldots(x-a)^m\ldots(x-r_n)[/tex]

Vi lar så [tex]g(x) = (x-a)^m[/tex] og [tex]j(x)[/tex] være alle de andre røttene ganget med [tex]c_n[/tex] slik at [tex]f(x) = g(x)j(x)[/tex].

Vi får da at

[tex]f^\prime (x) = g^\prime(x) j(x) + g(x)j^\prime(x)[/tex]

Hvor [tex]g(a) = 0[/tex] og [tex]g^\prime(x) = m\cdot (x-a)^{m-1}[/tex] slik at [tex]g^\prime(a) = 0[/tex].

Da får vi at [tex]f^\prime (a) = g^\prime(a) j(a) + g(a) j^\prime(a) = 0+0 = 0[/tex].

Beklager rotet.