Et lite spørsmål om potensrekker
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Sett at man har en potensrekke som går fra n = 1 til n = [symbol:uendelig] . Dersom man deriverer rekken, skal man da begynne fra n = 1 eller n = 2 på det deriverte uttrykket? I oppgaver jeg regner virker det som at man av og til begynner på samme n-verdi som før man deriverer, mens andre ganger gjør man det ikke. Setter stor pris på om noen kan forklare meg dette da det å velge feil n-verdi som startverdi fører til feil løsning på oppgaver!
Du skal derivere alle leddene i summen, så hvis rekka går fra n = 1 til uendelig, så skal den deriverte rekka også gjøre det.
Jeg kan gjette på at noen ganger blir det første leddene i den deriverte rekka 0, og at man derfor velger å ta det vekk fra rekka.
Edit: Man kan også ofte få sånn greier som (n - 1) eller (n + 1) overalt, da forskyver man gjerne n slik at uttrykket ser pent ut og start / slutt verdiene endrer seg.
Gjerne post noen eksempler på det du lurer på her.
Jeg kan gjette på at noen ganger blir det første leddene i den deriverte rekka 0, og at man derfor velger å ta det vekk fra rekka.
Edit: Man kan også ofte få sånn greier som (n - 1) eller (n + 1) overalt, da forskyver man gjerne n slik at uttrykket ser pent ut og start / slutt verdiene endrer seg.
Gjerne post noen eksempler på det du lurer på her.
[tex]\int_0^3 \frac{\left(x^3(3-x)\right)^{1/4}}{5-x}\, \mathrm{d}x = \frac{\pi}{2\sqrt{2}}\left(17-40^{3/4}\right)[/tex]
Takk for svar!
Ja, jeg ser nå at man i de tilfellene hvor rekken begynner med n = 0 starter den deriverte rekken med n =1, men i de tilfellene hvor rekken i utgangspunktet begynner med n = 1 beholder man dette i den deriverte.
Dersom rekken begynner med 0 og man dobbeltderiverer begynner man imidlertid den dobbeltderiverte med n = 2. Altså - den opprinnelige rekken starter i n = 0, den deriverte i n = 1, og den dobbeltderiverte i n = 2. Men regner med at den dobbeltderiverte også kan starte i f.eks. 1 så lenge man justerer uttrykket etter sigma i henhold til de verdiene man skal oppnå i rekken.
Igjen - tusen takk!
Ja, jeg ser nå at man i de tilfellene hvor rekken begynner med n = 0 starter den deriverte rekken med n =1, men i de tilfellene hvor rekken i utgangspunktet begynner med n = 1 beholder man dette i den deriverte.
Dersom rekken begynner med 0 og man dobbeltderiverer begynner man imidlertid den dobbeltderiverte med n = 2. Altså - den opprinnelige rekken starter i n = 0, den deriverte i n = 1, og den dobbeltderiverte i n = 2. Men regner med at den dobbeltderiverte også kan starte i f.eks. 1 så lenge man justerer uttrykket etter sigma i henhold til de verdiene man skal oppnå i rekken.
Igjen - tusen takk!
Altså, dette er veldig enkelt om du skriver ut summen. Å derivere et uttrykk som
[tex]\sum_{n=0}^\infty a_n x^n[/tex] kan være grisete og abstrakt.
Om du heller ser på det som
[tex]a_0+a_1x+a_2x^2+\cdot+a_nx^n+\cdot[/tex]
så ser du hvordan du skal derivere med en gang.
[tex]\sum_{n=0}^\infty a_n x^n[/tex] kan være grisete og abstrakt.
Om du heller ser på det som
[tex]a_0+a_1x+a_2x^2+\cdot+a_nx^n+\cdot[/tex]
så ser du hvordan du skal derivere med en gang.
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Takk skal du ha! Det hender jeg skriver ut rekken, men av og til forsøker jeg å gjøre det kjapt ved å heller bare derivere uttrykket. Skal være litt mer forsiktig med akkurat detFredrikM skrev:Altså, dette er veldig enkelt om du skriver ut summen. Å derivere et uttrykk som
[tex]\sum_{n=0}^\infty a_n x^n[/tex] kan være grisete og abstrakt.
Om du heller ser på det som
[tex]a_0+a_1x+a_2x^2+\cdot+a_nx^n+\cdot[/tex]
så ser du hvordan du skal derivere med en gang.
Da jeg drev og deriverte potensrekker tidligere, hendte det titt og ofte at jeg lurte på hvorfor det kom et [tex]\frac{1}{x}[/tex]-ledd når jeg deriverte. Se på denne:
[tex]\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n}[/tex]
deriverer vi denne får vi
[tex]\sum_{n=0}^\infty \frac{nx^{n-1}}{n}=\sum_{n=0}^\infty x^{n-1}[/tex]
og det første leddet blir da [tex]\frac{1}{x}[/tex].
Feilen er selvsagt at førsteleddet er konstant og forsvinner, men det ser vi ikke med summetegnnotasjonen.
[tex]\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n}[/tex]
deriverer vi denne får vi
[tex]\sum_{n=0}^\infty \frac{nx^{n-1}}{n}=\sum_{n=0}^\infty x^{n-1}[/tex]
og det første leddet blir da [tex]\frac{1}{x}[/tex].
Feilen er selvsagt at førsteleddet er konstant og forsvinner, men det ser vi ikke med summetegnnotasjonen.
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)