Side 1 av 1
En vilkårlig funksjon av grad 2 kan defineres ved rekursjon
Lagt inn: 06/05-2010 12:30
av hehe2
Forklar hvorfor en vilkårlig funksjon
[tex]g(n) = An^{2} + Bn + C[/tex]
av grad 2 alltid kan defineres ved rekursjon ved
[tex]g(1) = A + B + C[/tex]
[tex]g(n + 1) = g(n) + 2An + A + B.[/tex]
Er det noen som har et godt svar på dette ?
Lagt inn: 06/05-2010 14:12
av Charlatan
En slik rekursjonsformel har nødvendigvis en unik løsning på g, og siden andregradsfunksjonen tilfredsstiller betingelsene må dette være funksjonen.
Lagt inn: 06/05-2010 14:34
av hehe2
Charlatan skrev:En slik rekursjonsformel har nødvendigvis en unik løsning på g, og siden andregradsfunksjonen tilfredsstiller betingelsene må dette være funksjonen.
Kan du begrunne dette litt mer?
Lagt inn: 06/05-2010 17:48
av Charlatan
La oss si du starter med rekursjonsformelen og initialbetingelsen [tex]g(1)=A+B+C[/tex]. Du har en formel for [tex]g(n+1)[/tex] gitt ved [tex]g(n)[/tex], så du kan finne [tex]g(2)[/tex] ved å bruke g(1). Altså, [tex]g(2) = g(1) +2A*2+A+B[/tex]. Videre kan du bruke formelen for å finne [tex]g(3)=g(2)+2A*3+A+B[/tex].
Poenget er at du kan finne [tex]g(n)[/tex] hvilken som helst n ved å bruke de forrige verdiene. Det vil altså være nøyaktig èn funksjon som tilfredsstiller rekursjonsformelen og initialbetingelsen. Siden du kan vise at funksjonen [tex]g(n) = An^2+Bn + C[/tex] faktisk gjør det, må dette være den ene funksjonen som gjør det. Med andre ord kan [tex]g(n)[/tex] defineres med rekursjonsformelen, ettersom begge definisjonene gir nøyaktig samme funksjon.
Hvis funksjonen også er definert for negative n, kan du bruke samme rekursjonsformel ved å snu litt på den.