matematikk.net

La u og v være to ikke-negative reelle tall, [tex]\: u \leq v \:[/tex]. Vi definerer to tallfølger [tex]\: {a_n}, n=1,2,3......[/tex] og [tex]\:{b_n},n=1,2,3.....\:[/tex] rekursivt ved ligningene:

[tex](i) \: a_{1}=u, \: \: b_{1}=v[/tex]

[tex](ii) \: a_{n+1}= \sqrt{a_{n} \cdot b_{n}}, \: \: b_{n+1}=\frac{a_{n}+b_{n}}{2}[/tex].

Vis at:
A)
[tex]a_{1} \leq a_{2} ...... \leq a_{n+1} \leq b_{n+1} \leq ..... \leq b_{2} \leq b_{1} [/tex]

og at :

[tex]b_{n+1}-a_{n+1} \leq \frac{1}{2} (b_{n}-a{n})[/tex]

Prøvde slik:

Jeg brukte at :
[tex]{a_n}={1,2,3,4,5,6,7}[/tex]
og
[tex]{b_n}={14,13,12,11,10,9,8}[/tex]

Da stemte betingelsene i A).

men når det gjelder B finner jeg ikke den konstanten begge følgene skal konvergere til.

Altså er det denne oppgaven B som jeg har problemer med:

B) Vis at [tex]\: a_{n} \:[/tex] og [tex]\: b_{n} \:[/tex] konvergerer mot en felles grense c.




Edit: Er det lov å anta de to følgene som jeg har antatt over i A ? For der ser man at rekkefølgen på en av de to har jeg latet som er avtagende, er det lov å anta for det gjorde jeg og kun da fikk jeg det til å stemme.Er det andre måter å løse A) på?

al-jabr. skrev: Jeg brukte at :
[tex]{a_n}={1,2,3,4,5,6,7}[/tex]
og
[tex]{b_n}={14,13,12,11,10,9,8}[/tex]

Følgene er bestemt ut ifra verdiene u og v og du finner elementene ved å bruke den rekursive definisjonen. Hva du har gjort her aner jeg ikke.

Du kan prøve å vise A ved induksjon.

Fikk hele oppgaven til!

Thx C h a r latan

Jeg skjønner ikke helt hvordan man skal løse oppgaven? kunne jeg ha fått litt tips?