matematikk.net

På en vegg er det festet et bilde som er 1 meter over øynehøyde. Bildet er 1 meter høyt (altså er toppen av bildet 2 meter over øynehøyde).

Hvor langt unna veggen må du stå for at vinkelen Vtopp-Øne-Vbunn skal bli størst mulig?


Dette regner jeg med at man bør kunne gjøre om til en annengradslikning i og med at det ved både liten og stor avstand vil gi en liten vinkel, mens ved en ideell avstand vil det bli et toppunkt.

Sliter bare med å finne en slik likning, som gjør at jeg kan derivere den og finne et topp-punkt.


Fint om jeg kunne fått litt hjelp med å løse denne oppgaven

Med Vtopp-Øyne-Vbunn,mener du da toppen og bunnen av bildet?

Hvis dette er tilfelle, så er den beste måten å løse sånne oppgaver på ved å lage en fin tegning.

Kall [tex]\alpha[/tex] vinkelen øynene danner med øynehøyden og bunnen av bildet, denne er gitt ved [tex]tan(\alpha)=\frac{1}{x}[/tex]

Kall vinkelen øynene danner med bunnen og toppen av bildet for [tex]\theta[/tex]

Det er her nøkkelen til løsing av oppgaven ligger, hvordan skal vi maksimere [tex]\theta[/tex] slik at du får mest mulig overblikk over bildet? ( Hvis eg har tolket oppgaven riktig).

Summen av disse to vinklene, dvs fra øynehøyden og til toppen av bildet er gitt ved

[tex]tan(\alpha +\theta)=\frac {2}{x}[/tex]

Ved dobbel-vinkel-formelen til tangens, får vi at:

[tex]tan(\alpha +\theta)=\frac{tan(\theta)+tan(\alpha)}{1-tan(\theta)\cdot tan(\alpha)[/tex]

Da har vi at

[tex]\frac{tan(\theta)+tan(\alpha)}{1-tan(\theta)\cdot tan(\alpha)}=\frac {2}{x}[/tex]

Vi satte [tex]tan(\alpha)=\frac{1}{x}[/tex], bruker dette så videre, slik at uttrykket blir omformet til:

[tex]\frac{tan(\theta)+\frac{1}{x}}{1-tan(\theta)\cdot \frac{1}{x}}=\frac {2}{x}[/tex] Omformer dette (er bare ren algebra), til

[tex]tan(\theta)=\frac{x}{x^2+2}[/tex]

Nå kan vi definere funksjonen [tex]f(x)=\frac{x}{x^2+2}[/tex]

Bruk denne funksjonen til å finne det kritiske punktet du leiter etter.

(Jeg fikk da lengden til å bli [tex]sqrt{2}[/tex] stemmer det med fasit?)

Det ser veldig riktig ut.

Tusen takk for hjelpa