matematikk.net

Hei Igjen!

Har trøbbel med denne oppgaven.
Er det noen som kan hjelpe meg og gi meg et fullstendig løsningsforslag?


a)Bestem egenverdiene og et lineært uavhengig sett egenvektorer for matrisen: A(1 -2 )
3 -4

Bruk så relasjonen K-1AK=D til å vise at An=KDnK-1.
Bestem deretter matrisen An der A er gitt i oppgave a), ved først å diagnolisere A

Blir utrolig glad for en tilbakemelding på dette.
TAKK

Finn først egenverdier og egenvektorer. Det er lærebokstoff. Så setter du egenverdiene inn i diagonal D matrisen og egenvektorene som søyler i K matrisen. Så regner du ut K^(-1) (invertert K). Så ganger du sammen KDK^(-1) og ser at du kommer tilbake til A.

Fasit på egenvektorer og egenverdier:

lambda1 = -1
lambda2 = -2
egenvektor1 = [ 1 1 ][sup]T[/sup] (søylevektor)
egenvektor2 = [ 2 3 ][sup]T[/sup] (søylevektor)



Du ser at disse to vektorene er lineært uavhengige for de peker i forskjellig retning. Lengden er ikke viktig, hvis du harr fått [2 2] og [1 1.5] så kan du bruke disse siden retning er den samme. (A har nemlig uendelig mange egevektorer, men bare to egenverdier).

K = [
1 2
1 3 ]

D = [
(-1) 0
0 (-2) ] (egenverdier på diagonal, see?)

inverterte 2x2 matriser kan regnes slik:
Når du har klart å regne A fra K D K^(-1) er det slik at

A = KDK^(-1)
A^2 = A A = (KDK^(-1)) (KDK^(-1)) = K D^2 K^(-1)
også videre impliserer at:

A^n = KD^nK^(-1)

Tenk deg at du skal regne ut A^10. Da kan du gange A ti ganger sammen. Tungvindt. Siden D er en diagonal matrise, kan du opphøye egenverdiene på diagonal, og så gange sammen K D^10 K^(-1).