matematikk.net

Begynt på nytt stoff og etter litt regning så har jeg kommet til en oppgave jeg sliter med (oppgave 2b) også forklaringen på 1 som jeg er mer usikker på. Håper på en fin stor dytt...

1.
Er summen [tex] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{3n-1}[/tex] konvergent? - Svaret skal begrunnes

Mitt svar:
"Nei, rekken er ikke konvergent.
Det er fordi summen ikke går mot et bestemt tall, [tex]s[/tex] når [tex]n \rightarrow \infty[/tex] og dermed divergerer rekken og ikke konvergerer."

Jeg vil gjerne bevise hvorfor den ikke er det også for å vite om det. Ikke noe likende greier i boka så søkt litt på nett og finner lite om konvergente summer generelt.

Jeg tenker:
Men her tror jeg misforstår og ser på det som en rekke og skal jo finne ut om ->summen<- er konvergent?


2.
Anta en tallfølge er gitt ved, [tex]a_1 = 1[/tex] og [tex]a_{n+1} = 3-\frac{1}{a_n}[/tex].
a) Finn første 5 leddene i tallfølgen

[tex]a_{1} = 1[/tex], [tex]a_{2} = 2[/tex], [tex]a_{3} = \frac{5}{2}[/tex], [tex]a_{4} = \frac{13}{5}[/tex], [tex]a_{5} = \frac{34}{13}[/tex]


Gitt at tallfølgen er konvergent.
b) Bruk denne opplysningen til å bestemme dens grense.
(Tips: For store verdier av [tex]n[/tex] vil [tex]a_{n+1} \approx a_n[/tex])

Her starter jeg sånn, men lærer av feil... =P
[tex]\lim_{n \to \infty}a_{n}=\lim_{n \to \infty}a_{n+1}=\lim_{n \to \infty}3-\frac{1}{a_n}=\lim_{n \to \infty}3-\lim_{n \to \infty}\frac{1}{a_n}[/tex]

og der sier det stopp siden jeg ser at dette ikke er logisk/veien å gå...


"Finner heller ikke startkablene min i garasjen" Takker for all hjelp

For oppgave 1 kan du bruke forholdstesten. Du kan lese om den her:
http://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_test

I 2b kan du kalle grensen for r, og løse
[tex]r = 3 - \frac{1}{r}[/tex]

Ikke lært om forholdstesten enda (eller forsåvidt ikke begynt med rekker ect.), men lest om den... Så er det en andre måter å løse 1. på da?

Setter du [tex]r = a_n[/tex] mao?

[tex] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{3n-1}[/tex]

Den ser jo veldig konvergent ut, fordi [tex]\Large\lim_{n\to \infty}\frac{n+1}{3n-1}=0[/tex]

Edit: Dette er på trynet feil. Ignorer dette.

Er litt rusten på rekker. Kanskje best hvis noen andre gir deg noen tips.

Gommle skrev:[tex] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{3n-1}[/tex]

Den ser jo veldig konvergent ut, fordi [tex]\Large\lim_{n\to \infty}\frac{n+1}{3n-1}=0[/tex]

Ja, det er en oppgave a hvor du skal finne ut om tallfølgen er konvergent, [tex]\Large\lim_{n\to \infty}\frac{n+1}{3n-1}=0[/tex] men svaret er [tex]\frac{1}{3}[/tex] og ikke 0... men spørsmålet rundt her er jo om summen er konvergent. Den sliter jeg med å forstå...

Jeg er veldig usikker på rekker selv og er ikke min beste side akkurat så akkurat på oppgave 2b er jeg usikker på fremgangen...

Men summen kan ikke vokse i all uendelighet hvis leddene i summen etterhvert blir tilnærmet lik null! Altså vil den konvergere.

meCarnival skrev:

Gommle skrev:[tex] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{3n-1}[/tex]

Den ser jo veldig konvergent ut, fordi [tex]\Large\lim_{n\to \infty}\frac{n+1}{3n-1}=0[/tex]

Ja, det er en oppgave a hvor du skal finne ut om tallfølgen er konvergent, [tex]\Large\lim_{n\to \infty}\frac{n+1}{3n-1}=0[/tex] men svaret er [tex]\frac{1}{3}[/tex] og ikke 0... men spørsmålet rundt her er jo om summen er konvergent. Den sliter jeg med å forstå...

Jeg er veldig usikker på rekker selv og er ikke min beste side akkurat så akkurat på oppgave 2b er jeg usikker på fremgangen...

Hei,

Det du har gjort er mer enn nok for å bevise at rekken er divergent i oppgave 1. Leddene du summerer går mot [tex]\frac{1}{3}\neq 0[/tex] og det er et teorem som da sier at summen er divergent.

Sjekk ut http://en.wikipedia.org/wiki/Convergence_tests

Den første testen som kalles grensetest på norsk (eller noe slikt)

Aprospos:

Det som på engelsk heter "series" heter på norsk "rekke" og er det samme som summen av en "følge".

Det som på engelsk kalles "sequence" heter på norsk "følge".

Markonan skrev:Men summen kan ikke vokse i all uendelighet hvis leddene i summen etterhvert blir tilnærmet lik null! Altså vil den konvergere.

Jaok, jeg misforstod... Trodde Gommle mente at [tex]\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{3n-1} = 0[/tex]... men det er et utgangspunkt altså...


Blir riktig slik da:
[tex]\lim_{n\to\infty}a_n = 0 \Rightarrow \lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{3n-1} = 0 \Rightarrow \frac{1}{3} \neq 0[/tex]

Altså divergent, siden [tex]\frac{1}{3}[/tex] avviker fra 0!

Man kan også skrive om:

[tex]\frac{n+1}{3n-1}=\frac{n-\frac13 +\frac43}{3n-1}=\frac13+\frac{4}{9n-3}[/tex]

Siden [tex]\lim_{n\to\infty} \frac13 + \frac{4}{9n-3}=\frac13+0=\frac13[/tex] vil vi aldri nå et punkt der leddstørrelsen er tilnærmet null. Derfor må summen være divergent.

[tex]\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{3n-1} = \frac{1}{3}\neq 0[/tex].

[tex]\Rightarrow \sum_1^{\infty}\frac{n+1}{3n-1}\right \infty[/tex] er divergent.

Merk: Det motsatte er ikke nødvendigvis riktig.

Eksempel:

[tex]\sum_1^{\infty}\frac{1}{n}[/tex] er divergent selv om

[tex]\lim_{n\right \infty}\frac{1}{n}=0[/tex]

Ah, ble litt rot og knot i denne tråden. Var litt ukritisk på Gommle sin grenseregning.

Grensen til følgen er jo selvfølgelig 1/3, og når du adderer 1/3 uendelig ganger får du selvfølgelig uendelig og rekken divergerer.

For oppgave 2:

Gjør som Markonan foreslo!

Ja, derfor jeg ble litt usikker, pga at den skal divergerer, har fasit og der står det nei... Men ingen begrunnelse selvfølgelig... Men vil også bevise ting når jeg første gjør oppgaver da... Ikke bare lese en gang, sånn gjorde jeg det også husker jeg det ikke neste uke engang...