"Vise at"-oppgave med trappesummer og slikt

[FredrikM]

Hei igjen!

Oppgaven lyder omtrent slik:

Vis at enhver nedre trappesum er mindre enn eller lik enhver øvre trappesum. Altså, v.a. [tex]N(\Pi_1) \leq \emptyset(\Pi_2)[/tex]

Oppgaven tipset om å definere en partisjon [tex]\Pi[/tex], som inneholder alle delepunkter fra [tex]\Pi_1[/tex] og [tex]\Pi_2[/tex]. Dette er greit nok. Så gjør man det, og har så tenkt å vise at:
[tex]N(\Pi_1) \leq N(\Pi) \leq \emptyset(\Pi) \leq \emptyset(\Pi_2)[/tex]

Så definerer jeg følgende:
[tex]m_{ij}^1=inf\left{f(x,y) : (x,y) \in R_{ij}^1\right}[/tex]
hvor [tex]R_{ij}^1[/tex] er den ij-te ruten i partisjon [tex]\Pi_1[/tex].

På samme måten definerer jeg:
[tex][tex][/tex][tex]m_{ij}^3=inf\left{f(x,y) : (x,y) \in R_{ij}^3\right}[/tex]
hvor [tex]R_{ij}^3[/tex] er den ij-te ruten i partisjon [tex]\Pi[/tex].

Trappesummene defineres:
[tex]N(\Pi_1) = \sum_{ij}m_{ij}^1|R_{ij}^1|[/tex]
[tex]N(\Pi) = \sum_{ij}m_{ij}^3|R_{ij}^3|[/tex]

Og argumenterer slik:

"Siden [tex]\Pi[/tex] har en finere oppdeling enn [tex]\Pi_1[/tex], tvinges nødvendigvis infimum oppover, og følgelig må [tex]N(\Pi_1) \leq N(\Pi)[/tex]."

Jeg føler det henger noe fryktelig umatematisk over denne argumentasjonen. Tips og eventuelle feilrettelser ønskes. (synes forøvrig det ofte er vanskelig (og ofte nesten poengløst) å vise veldig opplagte ting)

Men takker for alle eventuelle svar!

[Markonan]

Heisann.

Så vidt jeg kan se har du tenkt helt riktig, men jeg tror ikke det er helt tilgivelig å bare skrive at en finere oppdeling betyr at [tex]N(\Pi_1) \leq N(\Pi)[/tex]. Usikker på hvilke krav det er til oppgaven men vanligvis må dette vises.

Du kan ta en titt på følgende lenke. I beviset til det første lemmaet står det noe du trenger, og det første korollaret - som bruker lemmaet - er oppgaven du har. Les og lær:
http://www.math.sc.edu/~sharpley/math554_s96/554_9/

Jeg er litt enig i frustrasjonen din, men det er så absolutt nyttig å lære og vise ting selv om de er opplagte. Bare tenk på hvor vrient det kan være, og tenk på hvor vrient det blir når man skal vise ting som ikke er opplagte i det hele tatt!

Problemet, synes jeg, er at mange av lærebøkene (og kanskje lærerne) forventer at man skal resonnere seg frem til den riktige bevisteknikken. Det klarer i hvert fall ikke jeg! Jeg må få en bevisteknikk (enkelt) forklart, og først da er jeg i stand til å bruke den. Klarer ikke å komme på de tingene selv. Det krever noen års erfaring tror jeg.

[FredrikM]

Usikker på hvilke krav det er til oppgaven men vanligvis må dette vises.

Av og til er det rart at man setter symboler og tall foran fornuften.

Men takk for linken! Den var veldig hjelpsom.

[h]

man kan jo kanskje gi det så enkelt som att hver nedre trappesum på ett intervall er gitt ved inf av funksjonsverdien , og at per definisjon kan ikke supremum være lavere enn infimum på ett område siden det da magisk ville være "det nye" infimumet?

[FredrikM]

Man kunne (antakelig) gjort det så enkelt om det var samme partisjon det er snakk om, men her er det snakk om to (muligens) vidt forskjellige partisjoner. Da er ikke resultatet like selvsagt.

[Bogfjellmo]

Du kan være litt mer presis når du sier "finere oppdeling"'.

[tex]\Pi[/tex] inneholder alle delepunktene til [tex]\Pi_1[/tex] og [tex]\Pi_2[/tex], følgelig vil et intervall i [tex]\Pi_1[/tex] svare til ett eller flere intervaller i [tex]\Pi[/tex].

Hva skjer med infimumene når du deler et intervall opp i flere?

Kan du anta noe om funksjonen som ligger til grunn for disse trappesummene? Er den integrerbar er vel det enkleste beviset å smyge inn integralet av funksjonen mellom de to trappesummene.

[Gustav]

Ta et intervall i den grove partisjonen, si et interval [a,b].
og innfør et punkt c i [a,b] for a<c<b.

La f(x) være infimum av f på [a,b]

La f(y) være infimum på [a,c] og f(z) inf av f på [c,b]

Da vil for nedre Riemannsummer, bidragene bli

(b-a)f(x) for den "grove" partisjonen og

(b-c)f(z)+(c-a)f(y)>=(b-c)f(min{y,z}+(c-a)f(min{y,z} for den "finere".

Siden f(min{y,z})>=f(x) får vi videre

(b-c)f(min{y,z})+(c-a)f(min{y,z})>=(b-c)f(x)+(c-a)f(x)=(b-a)f(x)

Dette prisippet vil da være nok til å trekke de konklusjonene du har gjort.

[h]

Man kunne (antakelig) gjort det så enkelt om det var samme partisjon det er snakk om, men her er det snakk om to (muligens) vidt forskjellige partisjoner. Da er ikke resultatet like selvsagt.

Bam! så at jeg hadde blingset og måtte gå tilbake og prøve igjen selv.
Har en lei tendens til og skumlese oppgave før jeg begynner å løse

[FredrikM]

Ta et intervall i den grove partisjonen, si et interval [a,b].
og innfør et punkt c i [a,b] for a<c<b.

La f(x) være infimum av f på [a,b]

La f(y) være infimum på [a,c] og f(z) inf av f på [c,b]

Da vil for nedre Riemannsummer, bidragene bli

(b-a)f(x) for den "grove" partisjonen og

(b-c)f(z)+(c-a)f(y)>=(b-c)f(min{y,z}+(c-a)f(min{y,z} for den "finere".

Siden f(min{y,z})>=f(x) får vi videre

(b-c)f(min{y,z})+(c-a)f(min{y,z})>=(b-c)f(x)+(c-a)f(x)=(b-a)f(x)

Dette prisippet vil da være nok til å trekke de konklusjonene du har gjort.

Takker for fint svar! Det jeg skulle bevise, var dog der vi integrerte en funksjon z=f(x,y) (altså areal i stedet for intervall), men det ser ut for meg som om fremgangsmåten vil være lik.

Linken Markonan henviser til, gjør noe av det samme.