Matrise: finne den ukjente når man vet egenverdien.

[rayon]

Har noen et løsningsforslag for denne? Det ville ha vært til stor hjelp.

Oppgaveteksten lyder som følger:

En 3 × 3-matrise M er gitt ved

[tex]M = \begin{pmatrix} 0&2&\alpha\\1&-1&1\\2&-1&2\end{pmatrix}[/tex]

hvor [tex]\alpha[/tex] er et reelt tall. For ett bestemt valg av [tex]\alpha[/tex] har M en egenverdi [tex]\lambda = 0[/tex]. Hvilken verdi av [tex]\alpha[/tex] er dette?

[orjan_s]

[tex]M = \begin{pmatrix} 0&2&\alpha\\1&-1&1\\2&-1&2\end{pmatrix}[/tex]

sånn?

[rayon]

Altså; hvilken verdi har [tex]\alpha[/tex] når [tex]\lambda = 0[/tex]?

[mrcreosote]

At 0 er en egenverdi for matrisa er ekvivalent til at determinanten D er 0. Nå er D en lineær funksjon i alpha, så vi har nøyaktig en verdi som passer.

[daofeishi]

Viser til mrcreosote over. Bruk den informasjonen, det viser hvor mange ulike slike verdier som eksisterer. Deretter behøver du ikke kofaktorekspansjon for å finne determinanten og en likning for alpha. Se på kolonnene, og du bør finne alpha direkte ved inspeksjon.

[sveioen]

Lurer på det samme. Kunne noen vist med eksempelet gitt hvordan man finner denne [tex]\alpha[/tex]? Var ikke helt med i svingende her..

[mrcreosote]

Regn ut determinanten til matrisa. Dette blir en lineær funksjon i alpha. Determinanten må være 0 for at vi skal ha 0 som en egenverdi. Løs ligninga determinant=0 med hensyn på alpha. Prøv!

[sveioen]

Så det blir rett og slett å vise at:

[tex]0=0(-1\times 2-(-1)\times 1)-2(1\times 2-2\times 1)+\alpha(1\times (-1)-2\times(-1))[/tex]
[tex]0=-4+4-\alpha+2\alpha[/tex]
[tex]\alpha=0[/tex]?

Vil det bli likt for matriser med egenverdi [tex]\lambda[/tex][symbol:ikke_lik] 0?

[daofeishi]

Alpha blir 0, ja. Det bør du også klare å se direkte (sammenlign kolonne 1 med kolonne 3.) For egenverdier annet enn null blir det litt annerledes. Husk at determinanten er lik produktet av egenverdiene. Hvis du ønsker å finne alpha slik at matrisen har en gitt egenverdi kan du benytte deg av at en lineær operator T har egenverdi lambda hvis og bare hvis [tex]T - \lambda I[/tex] er ikke-injektiv (m.a.o.: har egenverdi 0).