matematikk.net

a[sub]1[/sub], a[sub]2[/sub],..., a[sub]n[/sub] (reelle heltall)
Skal bevise at minst ett av disse heltallene er minst like stor som
middelverdien til 1/n[sigma][/sigma]a[sub]i[/sub] fra i = 1 til n.

Noen som vet hvordan dette kan bevises ?

Jeg kan gi et lite hint: sett a=max(a[sub]i[/sub]), og jobb ut i fra gjennomsnittsverdien. Beviset er gjort på en linje.
a er da det ene tallet du skal vise er større enn gjennomsnittsverdien.

Anta at alle tallene kan være mindre enn gjennomsnittsverdien:

a[sub]1[/sub] < [sigma][/sigma]a[sub]i[/sub] ,..., a[sub]n[/sub] < 1/n*[sigma][/sigma]a[sub]i[/sub], fra i=1 til n.

dvs
a[sub]1[/sub] +...+ a[sub]n[/sub] < 1/n*[sigma][/sigma]a[sub]i[/sub] + ... + 1/n*[sigma][/sigma]a[sub]i[/sub]

dvs
a[sub]1[/sub] +...+ a[sub]n[/sub] < n*1/n*[sigma][/sigma]a[sub]i[/sub]

dvs
a[sub]1[/sub] +...+ a[sub]n[/sub] < [sigma][/sigma]a[sub]i[/sub]

hvilket er umulig, dermed er antakelsen feil.

Blir dette riktig ?

Det ser riktig ut det

Det jeg tenkte var, sett a = max(a[sub]i[/sub]). Du har da

1/n*[sigma][/sigma]a[sub]i[/sub] <= 1/n*[sigma][/sigma]a = a

Dermed er i hvertfall a større enn eller lik gjennomsnittsverdien.