Diskret Fouriertransformasjon

[halten]

Får ikke til denne:

Vis at

[tex]\sum_{n=-M}^Me^{-iwn}=\frac{\sin{w(M+\frac{1}{2})}}{\sin{\frac{w}{2}}}[/tex]

[Charlatan]

Skriv om høyre side til eksponentialform og indukter deretter på M.

Hint: [tex]\sin\theta = \frac{i}{2}(e^{-i\theta}-e^{i\theta})[/tex]

[halten]

Lenge siden jeg har gjort induksjon nå..

Jeg kom frem til at denne gjelder generelt, men jeg klarer ikke vise det.

[tex]\sum_{n=-M}^Ma^{-bxn}=\frac{a^{-bx(N+0.5)} -a^{bx(N+0.5)}}{a^{\frac{-bx}{2}-a^{\frac{bx}{2}}[/tex]

Skulle det ikke være mulig å gjøre dette på følgende måte:

[tex]\sum_{n=-M}^Me^{-iwn}=\sum_{n=-M}^M(cos{wn}-isin{wn})[/tex]
[tex]=\sum_{n=-M}^M(cos{wn})[/tex]

Siste overgang er pga at sinus er asymmetrisk om y-aksen. En summasjon burde dermed bli null, siden sin(0) = 0, og alle andre ledd kansellerer hverandre. Videre kunne jeg da brukt en formel i rottmann, som sier at:

[tex]\sum_{n=-M}^M(cos{wn})=\frac{sin{\frac{wn}{2}sin{\frac{n+1}{2}w}}}{sin{\frac{w}{2}}}[/tex]

Men dette blir ikke det samme som det jeg skal vise. Har også prøvd å trykke det inn på kalkulatoren, men nei.. Kan du gi meg et dytt til i riktig retning?

[Charlatan]

Jeg er ikke kjent med de likhetene du nevner, så jeg kan bare hjelpe deg med induksjonen. (som forøvrig er mer lærerikt enn å sitere en formel fra ei bok).

Hvis du omgjør som jeg sa, får du at du skal bevise
[tex]\sum_{n=-M}^Me^{-iwn}=\frac{e^{w(M+1)i}-e^{-wMi}}{e^{wi}-1}[/tex]

Vi ser at det stemmer for [tex]M=1[/tex], så anta at det stemmer for alle [tex]k \leq M[/tex]. Dvs at [tex]\sum_{n=-k}^Me^{-iwn}=\frac{e^{w(k+1)i}-e^{-wki}}{e^{wi}-1}[/tex] for alle [tex]k \leq M[/tex]... [tex](1)[/tex]

Analyser nå [tex]S=\sum_{n=-(k+1)}^{k+1}e^{-iwn}[/tex] og bruk (1) til å vise at det stemmer for [tex]M=k+1[/tex].

[daofeishi]

Du kan også omgå hele induksjonen ved å summe hele greia som en geometrisk rekke. Dette vil gi deg at summen er [tex]\frac{1-e^{-iw(2m+1)}}{e^{-iwm}-e^{-iw(m+1)}}[/tex]
Gjør du noe smart med teller og nevner etterpå, så er du rett i mål.

[Charlatan]

X| at jeg ikke tenkte på det..

[halten]

Hvordan kommer jeg frem til rekkesummen som gjelder fra -M til M i stedet for fra 0 til M?

Prøvde slik:

[tex]\sum_{-M}^Mr^n=\sum_{-M}^{-1}r^{n}+\sum_{0}^Mr^n[/tex]

[tex]=\frac{r^{-1}-r^{-M-1}}{1-r^{-1}}+\frac{1-r^{M+1}}{1-r}[/tex]

[tex]=\frac{(1-r^{-1})(1-r^{M+1}) + (1-r)(r^{-1}-r^{-M-1})}{(1-r)(1-r^{-1})}[/tex]

[tex]=\frac{-r^{M+1}+r^M-r^{-M-1}+r^{-n}}{2-r^{-1}-r}[/tex]

Kanskje en eller annen faktorisering som skal til, men jeg ser den ikke.. Skal nå frem hit:

[tex]=\frac{1-r^{2M+1}}{r^M-r^{M+1}}[/tex]

[Charlatan]

Hum, du kan nok ikke plugge inn i formelen på den måten.

Kan [tex] \sum^{-1}_{k=-M} r^k[/tex] skrives på en annen måte? Tenk på inversen av r.

[daofeishi]

Det du også kan gjøre, er å tenke at [tex] \sum _{n=-M} ^M r^n \ = \ r^{-M} \sum _{n=0}^{2M}r^n[/tex]

[halten]

Nå regner jeg med du mener at den kan skrives slik:

[tex]\sum_{n=1}^{M}(\frac{1}{r})^{n}=\sum_{n=1}^{M}r^{-n}[/tex]

Det var slik jeg tenkte når jeg skrev forrige innlegg ja.

[halten]

Tusen takk for all hjelp, daofeishi og Jarle10!