Differensiallikning

[liengen]

Skal løse differensiallikningen: xy`+3y=cosx/x²

1. Finner først løsning på den homogene likningen:

y=Ae[sup]-3[/sup]

2. Finner/tipper en partiell løsning(elr hva det heter). Det er her jeg sliter litt. Ser på høyre siden av likningen (cosx/x²) og tipper denne likningen:

y=(Ccosx+Dsinx)/(c[sub]0[/sub]+c[sub]1[/sub]x+c[sub]2[/sub]x²)
der C, D, c[sub]0[/sub], c[sub]1[/sub] og c[sub]c[/sub] er konstanter (sikkert feil )

Uansett... setter dette inn i likningen, xy`+3y=cos/x² (gidder ikke å skrive alt på nytt) og her får vi altså 5 ukjente som vi skal finne. Hvis dette er rett, hvordan finner jeg så disse 5 ukjente?

[cule]

Jeg ville prøvd metoden som kalles 'variasjon av parametere', blir veldig mye tex'ing hvis jeg skal forklare alt her, men det står sikkert om det i læreboka di...du bruker hvertfall wronski-determinanten og setter inn i en formel som det ligger en logikk bak
Kort fortalt kan den brukes hvis høyresida av ligninga ikke er slik du ofte "gjetter deg til" (tror du burde lese litt på logikken bak dette og)


http://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_ ... parameters
http://www.cliffsnotes.com/WileyCDA/Cli ... 19722.html

-cule

[monster]

kan noen løse denne diff oppgaven?

takk

[Mayhassen]

Vel, jeg kan jo gi det et forsøk.
Bruker ikke no fancy wronski eller slikt, men den kan vel løses som en 1.ordens lineær likning med integrerende faktor.
[tex]y\prime+\frac3x y=\frac{cos(x)}{x^3}[/tex]
Integrerende faktor blir x³, multipliserer hvert ledd med denne og omformer venstresiden ved baklengs produktregel for derivasjon
[tex](x^3y)\prime=cos(x) \\ x^3y=\int \cos(x) dx \\ x^3y=\sin(x)+C \\ y=\frac{sin(x)+C}{x^3}[/tex]

Noen får kjefte hvis det er noe feil

[Badeball]

Ingen vits med variasjon av parametre på en 1. ordens diff.likning vel.

[monster]

Vel, jeg kan jo gi det et forsøk.
Bruker ikke no fancy wronski eller slikt, men den kan vel løses som en 1.ordens lineær likning med integrerende faktor.
[tex]y\prime+\frac3x y=\frac{cos(x)}{x^3}[/tex]
Integrerende faktor blir x³, multipliserer hvert ledd med denne og omformer venstresiden ved baklengs produktregel for derivasjon
[tex](x^3y)\prime=cos(x) \\ x^3y=\int \cos(x) dx \\ x^3y=\sin(x)+C \\ y=\frac{sin(x)+C}{x^3}[/tex]

Noen får kjefte hvis det er noe feil

kunne du forklare litt næremere det med "baklengs produktregel"
jeg får ikke helt med meg hva du gjør på venstre sida!

[Olorin]

Slik lærte jeg å bruke integrerende faktor, og har ikke glemt det siden.
Kan også gi forklaring på bakvendt produktregel.

Inhomogene diff.likn. av 1.orden av typen
[tex]y^\prime +P(x)\cdot y=Q(x)[/tex]

Har integrerende faktor, I(x)

[tex]I(x)=e^{\int P(x)\rm{d}x}[/tex]

I ditt tilfelle [tex]y^\prime+\frac3{x}y=\frac{\cos(x)}{x^3}[/tex]

[tex]I(x)=e^{\int \frac3{x}\rm{d}x} =e^{3\ln(x)}=e^{\ln(x^3)}=x^3,\,\ C=0[/tex]

ganger nå med I(x) på begge sider

[tex]y^\prime \cdot I(x)+3x^2y=\cos(x)[/tex]

Ser at [tex]3x^2=I^\prime(x)[/tex]

[tex]y^\prime \cdot I(x)+y\cdot I^\prime(x)=\cos(x)[/tex]

Produktregel for derivasjon [tex](uv)^\prime=u^\prime v+uv^\prime[/tex]

Ringer en bjelle;

[tex](y\cdot I(x))^\prime=\cos(x)[/tex]

Integrerer begge sider

[tex]\int (y\cdot I(x))^\prime \rm{d}x=\int \cos(x)\rm{d}x[/tex]

[tex]y\cdot I(x)=\sin(x)+C[/tex]

[tex]y=\frac{\sin(x)+C}{I(x)}=\frac{\sin(x)+C}{x^3}[/tex]

[monster]

Den var nice
Tusen Takk