Forholdet mellom to trekanter.

[LGO]

Oppgaven er som følgende:

Gitt en trekant ABC. La C' være et punkt på AB slik at AC':C'B=2:1, la A' være et punkt på BC slik at BA':A'C=2:1, og la B' være et punkt på CA slik at CB':B'A=2:1. AA' og BB' skjæres i punktet C'', BB' og CC' skjæres i A'', og AA' og CC' skjæres i B''. Utfør konstruksjonen med Cabri, og mål arealene av trekantene ABC og A''B''C''. Hva er forholdet mellom dem? Sett opp en hypotese og forsøk å bevise den.

Jeg har konstruert trekantene, og har funnet at forholdet mellom dem er 7. Jeg har også forsøkt å konstruere tilsvarende trekanter ved en fire-, fem- og seksdeling, og funnet at forholdene i disse er henholdsvis 3.25, 2.333 og 1.9375.

Problemet mitt er at jeg ikke en gang er sikker på hva slags hypotese jeg skal sette opp. Jeg har også fått noen hint i forhold til å bevise en hypotese. De er som følgende:

Hint: En mulighet er å bruke elementær vektorregning i planet, jfr. 2MX. Se spesielt på arealene av de små trekantene ved hjørnene av trekanten ABC. Kan du si noe om hvordan AA' og CC' deler hverandre?


Noen som i hvert fall kan hjelpe meg litt på sporet her?

[LGO]

Jeg har også funnet at AA' og CC' deler hverandre, slik at AA' blir delt i forholdet 7, og CC' blir delt i forholdet 7/3.

Dette ser jeg går igjen på de trekantene der jeg deler inn sidene i flere deler. F.eks. ved firedelingen, blir forholdet til AA' = 13, og CC' får forholdet 13/4.

Likevel skjønner jeg ennå ikke hvordan tallene 7 og 13 kommer fram...

[Algebracus]

For meg virker det som om hypotesen som skal stillast er fylgjande:

S(A''B''C'')/S(ABC) = 7, dvs. at arealet til ABC er sju gonger så stort som arealet til A''B''C''.

Hugs for all del at å gje eksempel er ikkje det same som å bevisa!

Det er fleire ulike bevisteknikkar som kan brukast. Eit bevisforslag er:

Observer at forholdet mellom areala forblir det same om me skalerer trekanten ABC. Difor let me S(ABC) = 1, utan tap av generalitet. Vidare, la arealet til A''B''C'' vera x, det samla arealet til trekantane AB'C'' etc. vera y og det samla arealet til firkantane B'CB''C'' etc. vera z. Me veit då at x + y + z = 1.

S(ABA') = S(BCB') = S(CAC') = 2/3. Summerer me opp desse areala får me totalareal 2, men då er midttrekanten telt trippelt og firkantane B'CB''C'' etc. telt dobbelt. Altså er 3x + y + 2z = 2, eller 2x + z = 1. Sidan x + y + z = 1 = x + x + z, så har me altså x = y.

Me skal no prøva å finna y, først ved å undersøkja CA'B'': AC'/BC = 1/3 og AB''/AA' = 1/7*, så denne har areal 1/21 av totalarealet. Me finn areala til dei andre småtrekantane på tilsvarande vis, og samla har dei areal 3/21 = 1/7, så y = 1/7 og x = 1/7.

*Det gjenstår å visa at dette faktisk gjeld: La K vera punktet på Ab slik at A'K er parallell med CC'. Ved formlikskap er C'K = b/3, der b = BC = AB/3. Då er AK = 7b/3. Vidare gjev formlikskap at B''A'/AA' = (b/3)/(7b/3) = 1/7.

[LGO]

Tusen takk for hjelpen. Ble mye klarere for meg. Faktisk endte jeg med å bruke en litt annen måte å bevise det på enn det du beskrev. Fant ut at ved å starte med noe av det du skrev, så kunne jeg bevise at sidene til trekanten i midten var 4/7 av de respektive sidene i trekant ABC. Da kunne jeg bare bruke Herons formel for areal for å vise at det tilsvarte 1/7 av arealet.