Avstanden fra et indre punkt til sidene...

[LGO]

Jeg har ved å bruke Cabri observert at det ser ut til at dersom du har en vilkårlig likesidet trekant, og setter av et indre punkt P, så vil summen av avstandene fra P til sidene i trekanten, være lik høyden i trekanten. Noen som har noen tips i forhold til hvordan jeg kan gå fram for å bevise dette?

Er dette noe som kan videreføres generelt til regulære polynomer på en eller annen måte?

[Algebracus]

La sidekantane ha lengde s. Arealet er då A = s*h/2 = (s*x + s*y + s*z)/2, der x, y og z er avstandane frå punktet P til dei respektive sidekantane.

Det generelle resultatet har den svake sida at me ofte ikkje har eit veldig fint uttrykk for arealet som for trekantar. For kvadratet er i alle fall resultatet nokolunde greitt:

A = s*s = (s*a + s*b + s*c + s*d)/2, dvs. a + b + c + d =2s, men det er jo trivielt, sidan a + c = b + d = s (a, b, c og d er avstandane frå P til sideflatene).

[LGO]

La sidekantane ha lengde s. Arealet er då A = s*h/2 = (s*x + s*y + s*z)/2, der x, y og z er avstandane frå punktet P til dei respektive sidekantane.

Tusen takk for svar, men er dette egentlig beviset på det jeg skal finne? Det at summen av avstandene til punktet P er lik høyden i trekanten, er jo noe jeg foreløpig bare har som en hypotese. Forutsetter ikke det du setter opp for arealet at man allerede vet med sikkerhet at summen av avstandene til P er lik høyden?

[LGO]

Nå gikk det plutselig et lys opp for meg. Det du skrev beviser jo nettopp at summen av avstanden fra P til sidene i trekanten er lik høyden. P deler jo trekanten inn i tre mindre trekanter. Takk.