formel for injektiv funksjon
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Algebracus
- Pytagoras
- Innlegg: 19
- Registrert: 18/03-2005 11:52
- Sted: Vestlandet
Ein injektiv funksjon mellom A og B er ein funksjon som er slik at dersom f(a) = f(b), så er a = b. La n(S) vera talet på element i ei mengd S (dersom endeleg). Då har me fleire ulike tilfelle å sjå på:
(1) n(B) er uendeleg og n(A) er endeleg.
Det finst uendeleg mange injektive funksjonar frå A til B, sidan me for kvar a i A har uendeleg mange f(a) å velja mellom.
(2) n(B) er endeleg og n(A) er uendeleg.
Det finst ingen injektive funksjonar frå A til B, sidan me etter å ha vald f(a) for n(B) ulike a i A garantert vil måtte velja ein f(a) som allereie er vald.
(3) n(B) og n(A) er begge endelege.
Dersom n(A) > n(B), så er problemstillinga som i (2), og me har ingen injektive funksjonar. Dersom n(A) <= n(B), så gjer me som følgjer:
Me vel først f(a) for ein bestemt a (n(B) kandidatar), så f(a) for ein annan a (blant n(B) - 1 kandidatar), og så vidare. Til slutt har me vald f(a) for alle a i A, og ved produktregelen har me (n(B))!/(n(B) - n(A))! injektive funksjonar frå A til B.
(4) n(B) og n(A) er begge uendelege.
Denne er noko vanskelegare enn dei overnemnde. Dersom både A og B er delmengder av den reelle talmengda, så er i alle fall svaret at det finst uendeleg mange injektive funksjonar, noko du kan overbevisa deg om ved å sjå på eit rektangelet definert ved 0 < x, y < 1 og sjå at det finst uendeleg mange strengt veksande eller strengt minkande funksjonar definert på dette rektangelet.
For øvrig ser dette siste tilfellet å handla om moderne mengdelære, og sidan eg ikkje har teke nokon kurs i aksiomatisk mengdelære eller Zermelo-Fraenkels mengdelære, så vil det vera svært vanglande av meg å gå djupt inn på dette.
(1) n(B) er uendeleg og n(A) er endeleg.
Det finst uendeleg mange injektive funksjonar frå A til B, sidan me for kvar a i A har uendeleg mange f(a) å velja mellom.
(2) n(B) er endeleg og n(A) er uendeleg.
Det finst ingen injektive funksjonar frå A til B, sidan me etter å ha vald f(a) for n(B) ulike a i A garantert vil måtte velja ein f(a) som allereie er vald.
(3) n(B) og n(A) er begge endelege.
Dersom n(A) > n(B), så er problemstillinga som i (2), og me har ingen injektive funksjonar. Dersom n(A) <= n(B), så gjer me som følgjer:
Me vel først f(a) for ein bestemt a (n(B) kandidatar), så f(a) for ein annan a (blant n(B) - 1 kandidatar), og så vidare. Til slutt har me vald f(a) for alle a i A, og ved produktregelen har me (n(B))!/(n(B) - n(A))! injektive funksjonar frå A til B.
(4) n(B) og n(A) er begge uendelege.
Denne er noko vanskelegare enn dei overnemnde. Dersom både A og B er delmengder av den reelle talmengda, så er i alle fall svaret at det finst uendeleg mange injektive funksjonar, noko du kan overbevisa deg om ved å sjå på eit rektangelet definert ved 0 < x, y < 1 og sjå at det finst uendeleg mange strengt veksande eller strengt minkande funksjonar definert på dette rektangelet.
For øvrig ser dette siste tilfellet å handla om moderne mengdelære, og sidan eg ikkje har teke nokon kurs i aksiomatisk mengdelære eller Zermelo-Fraenkels mengdelære, så vil det vera svært vanglande av meg å gå djupt inn på dette.