Jeg har et par oppgaver jeg lurer på.
lar f stå for "phi"
Use the method of successive approximations to solve the given initial value problem.
Determine f[sub]n[/sub](t) for an arbitrary value of n:
y'=-y/2 +t , y(0)=0
(f[sub]n[/sub](t)=[funk][/funk]f[s,f[sub]n-1[/sub](s)]ds)
Her er s en "dummy"-variabel, så man bruker vel fundamentalteoremet i kalkulus. Hva gjør jeg med t'en i diff.ligningen?[funk][/funk]
Differensialligning
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
phi er det gyldendesnitt ~ 1.619
Kubjelle owns your soul!
Beklager, ble en del rot i innlegget mitt.
φ[sub]n[/sub](t)=[itgl][/itgl][funk][/funk][s,φ[sub]n-1[/sub](s)]ds
Integralet går fra 0 til t. (Fundamentalteoremet til kalkulus)
Funksjonen φ ("phi") når n går mot uendelig er løsningen på et initialverdiproblem hvor y(0)=0.
Vet ikke hva metoden heter på norsk, men på engelsk kalles den "method of succesive approximations", eller Picard´s iteration method.
Du begynner med φ[sub]0[/sub](t)=0. Bruker så integralligningen til å finne verdier for høyere n, slik at du kan finne et uttrykk for hvilken som helst n.
I integralet brukes "dummy"-variabelen s. I den oppgaven jeg skrev i begynnelsen lurer jeg på om jeg integrerer t, eller kaller t for s?
φ[sub]n[/sub](t)=[itgl][/itgl][funk][/funk][s,φ[sub]n-1[/sub](s)]ds
Integralet går fra 0 til t. (Fundamentalteoremet til kalkulus)
Funksjonen φ ("phi") når n går mot uendelig er løsningen på et initialverdiproblem hvor y(0)=0.
Vet ikke hva metoden heter på norsk, men på engelsk kalles den "method of succesive approximations", eller Picard´s iteration method.
Du begynner med φ[sub]0[/sub](t)=0. Bruker så integralligningen til å finne verdier for høyere n, slik at du kan finne et uttrykk for hvilken som helst n.
I integralet brukes "dummy"-variabelen s. I den oppgaven jeg skrev i begynnelsen lurer jeg på om jeg integrerer t, eller kaller t for s?
Stemmer riktignok at phi ofte blir brukt om det gyldne snitt, men phi brukes også som symbol for en funksjon. Det er en slik funksjon den uttrykker i mitt spørsmål, der phi er funksjonen som er svaret på en diff.ligning med startkrav. Det gyldne snitt hjelper meg altså dessverre lite.Kubjelle skrev:phi er det gyldendesnitt ~ 1.619
Picard iterasjon ja. Du bytter ut t med integrasjonsvariablen din (noe du allerede har gjort i ligningen). Det er vel litt lettere å forstå hvis du går igjennom utledningen av metoden, som er gjort på et par linjer. La meg forenkle notasjonen litt. La difflign din være
y' = f(t,y) = -y/2 + t
y(0) = 0
og la y[sub]n[/sub](t) være en tilnærming til y(t). Da vil y[sub]n+1[/sub] være gitt ved
y[sub]n+1[/sub] = [itgl]f(s,y[sub]n[/sub])ds[/itgl] fra s = 0 til t
Framgangsmåten er som regel å gjøre denne iterasjonen mange nok ganger til man ser en "trend", gjette en funksjon, og deretter bevise at funksjonen er riktig med induksjon.
Men det går ann å løse denne på en annen måte og. Svaret er
y(t) = 2t + 4(e[sup]-t/2[/sup] - 1)
som du kan bruke som en sjekk.
y' = f(t,y) = -y/2 + t
y(0) = 0
og la y[sub]n[/sub](t) være en tilnærming til y(t). Da vil y[sub]n+1[/sub] være gitt ved
y[sub]n+1[/sub] = [itgl]f(s,y[sub]n[/sub])ds[/itgl] fra s = 0 til t
Framgangsmåten er som regel å gjøre denne iterasjonen mange nok ganger til man ser en "trend", gjette en funksjon, og deretter bevise at funksjonen er riktig med induksjon.
Men det går ann å løse denne på en annen måte og. Svaret er
y(t) = 2t + 4(e[sup]-t/2[/sup] - 1)
som du kan bruke som en sjekk.
Sist redigert av Bernoulli den 08/03-2005 11:27, redigert 1 gang totalt.
O: O: O: O: O: O: O:Kent skrev:Stemmer riktignok at phi ofte blir brukt om det gyldne snitt, men phi brukes også som symbol for en funksjon. Det er en slik funksjon den uttrykker i mitt spørsmål, der phi er funksjonen som er svaret på en diff.ligning med startkrav. Det gyldne snitt hjelper meg altså dessverre lite.Kubjelle skrev:phi er det gyldendesnitt ~ 1.619
Da har jeg lært det også.
Kubjelle owns your soul!