matematikk.net

Hvordan beskriver jeg symmetriene til en regulær åttekant?

Ein regulær åttekant har åtte symmetriakser: Fire frå midtpunktet på ei side til midtpunktet til motståande side, og fire frå eit hjørne til motståande hjørne. I tillegg har me rotasjonssymmetriar ved 45-90-135-(...).

Ein alternativ skildring beror på enkle kjennskaper til grupper: La oktagonet (1,2,3,4,5,6,7,8) vera gjeven. Me har fylgjande transformasjonar som gjer at oktagonen har same stilling i planet før og etter transformasjonen:

Rotasjonar: Sju stykk; 45, 90, 135, 180, 225, 270 og 315.
Speglingar: Åtte stykk; fire hjørne-hjørne og fire side-side.
Identitetstransformasjon; me gjer ingenting.

Desse seksten transformasjonane utgjer elementa i den dihedrale gruppa D-8, eller oktagonens symmetrigruppe:

(1) La elementet t vera ei bestemt spegling, og la elementet s vera 45-rotasjonen.

(2) Ordenane til t og s er respektive 2 og n.

(3) e er identitetstransformasjonen, s, s^2, ..., s^n-1 er rotasjonssymmetriane og t, st, ..., s^n-1*t er speglingssymmetriane (sistnemnde må kontrollerast, men det er altså tilfelle).

(4) Speglinga t etterfylgd av ein 45-rotasjon tilsvarer ein 135-rotasjon etterfylgt av speglinga t (dette må også sjekkast); ts = s^n-1*t.