Hvordan beviser jeg følgende grense?
lim 1/(x+1) = 1/2
x--> 1
På forhånd takk[/quote]
Formell def. grense 2
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Gjest
Den formelle definisjonen er:
lim f(x) = b dersom det for alle e > 0 finst ein d slik at |x - a| < d
x-> a medfører |f(x) - b| < e.
I vårt tilfelle vil det enklaste vera å kunna ein del setninger som fylgjer av denne formelle definisjonen (dei finst i alle kalkulusbøker). Direkte frå den formelle definisjonen kan me mellom anna velja
d = 2e for e <= 1/2.
La e <= 1/2. Dersom |x-1| < d = 2e, så er |1/(x+1) - 1/2)| = |(1-x)/(2(x+1))| = 1/2|(x-1)/(x+1) = 1/2|x-1|/|x+1| < e/|x+1| < e dersom |x+1| > 1, dvs. x > 0. Sidan |x-1| < 1, så veit me at dette stemmer.
Det som gjenstår er då å finna d for e > 1/2 (eller å visa at det er nok å finna d for e innafor eit intervall 0 < e < c, c > 0).
lim f(x) = b dersom det for alle e > 0 finst ein d slik at |x - a| < d
x-> a medfører |f(x) - b| < e.
I vårt tilfelle vil det enklaste vera å kunna ein del setninger som fylgjer av denne formelle definisjonen (dei finst i alle kalkulusbøker). Direkte frå den formelle definisjonen kan me mellom anna velja
d = 2e for e <= 1/2.
La e <= 1/2. Dersom |x-1| < d = 2e, så er |1/(x+1) - 1/2)| = |(1-x)/(2(x+1))| = 1/2|(x-1)/(x+1) = 1/2|x-1|/|x+1| < e/|x+1| < e dersom |x+1| > 1, dvs. x > 0. Sidan |x-1| < 1, så veit me at dette stemmer.
Det som gjenstår er då å finna d for e > 1/2 (eller å visa at det er nok å finna d for e innafor eit intervall 0 < e < c, c > 0).