matematikk.net

Finn Maclaurinrekken (altså taylorrekken om a=0) for f(x) = (x^2 - 1) sin (-x)?

Kan noen forklare hvordan man går frem til svaret? jeg har ingen peiling
Takk

Bruk formelen:

[tex]M(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k=f^,(0)x\,+\,{1\over 2}f^"(0)x^2\,+\,{1\over 6}f^{(3)}(0)x^3\,+...\,+\frac{1}{k!}f^{(k)}(0)x^k[/tex]

der

[tex]f^,(x)=-x^2\cos(x)\,-\,2x\sin(x)\,+\,\cos(x),\;\;x>0[/tex]
og
[tex]f^"(x)=(x^2-3)\sin(x)\,-\,4x\cos(x),\;\;x>0[/tex]

I første omgang må du se på hva en MacLaurin-rekke er!

La f være en funksjon som inneholder deriverte av alle ordre, gjennom et intervall som inneholder et punkt a. MacLaurin-rekken generert av f kan da skrive som:

[tex]\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{f^{[k]}(0)}{k!} \ \cdot \ x^k = f(0) + f^,(0)x + \frac{f^{,,}(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{[n]}(0)}{n!}x^n + \cdots [/tex]

Et lite spørsmål bare, hva er tall med utropstegn bak seg? Var litt vanskelig å søke etter det..

Betyr fakultet.

2! = 2*1
3! = 3*2*1
4! = 4*3*2*1

osv.

på engelsk factorial, har også en analytisk kontinuasjon ved gamma og pi funksjonene.

Når det gjelder funksjonen [tex]f(x)=(x^2-1)\sin(-x)[/tex] er vel trikset å ta utgangspunkt i maclaurinrekka til [tex]\sin(x)[/tex], altså

[tex]\sin x=x-\frac{1}{3!}x^3+\ldots+(-1)^n\frac{1}{(2n+1)!}x^{2n+1}+\ldots[/tex]

Av dette får man

[tex]\sin(-x)=-x+\frac{1}{3!}x^3-\ldots+(-1)^{n+1}\frac{1}{(2n+1)!}x^{2n+1}+\ldots[/tex]

Videre får vi

[tex]x^2\sin(-x)=-x^3+\frac{1}{3!}x^5-\ldots+(-1)^{n+1}\frac{1}{(2n+1)!}x^{2n+3}+\ldots[/tex]

Poenget blir nå å ta denne rekka og trekke fra rekka til [tex]\sin(-x)[/tex] (som er det samme som å legge til rekka til [tex]\sin x[/tex])