matematikk.net

Skal vise at {a[sub]k[/sub]} er avtagende og begrenset.

Har prøvd meg på å uttrykke leddene generelt ved å sette inn for
a [sub]k+1[/sub] i a [sub]k+2[/sub], men fikk ikke noe bra resultat...


a[sub]0[/sub] = 1
a [sub]k+1[/sub] = 1 - 2/(2 + a[sub]k[/sub])

k element i Z

Kan noen komme med gode råd?

Eg reknar med at du meiner at k er eit ikkje-negativt heiltal, sidan a(-1) ikkje kan eksistera: a(0) = 1 = 1 - 2/(2 + a(-1)) går ikkje (utan at a(-1) er uendeleg stor, noko me beint ser vekk frå).

Dersom a(k) > 0, så er også a(k+1) > 0 og i tillegg er a(k+1) < a(k):

1 - 2/(2 + a(k)) > 0 for 2 + a(k) > 2, dvs. a(k) > 2, og
a(k) > 1 - 2/(2 + a(k)) for 2a(k) + a(k)a(k) > 2 + a(k) - 2, dvs.
a(k)^2 + a(k) > 0, som opplagt gjeld for a(k) > 0.

At følgja er synkande og avgrensa følgjer altså ved induksjon.

Ved induksjon kan me for øvrig visa at a(k) = 1/(2^(k+1)-1).