matematikk.net

Meldinger kodet i binære tegn 0 og 1 overføres i et telekommunikasjonssystem. Signalene
utsettes for støy, og derfor forekommer feilaktige overføringer. Et utsendt tegn 0 mottas som 1
med sannsynlighet 0.01 (og som 0 med sannsynlighet 0.99). Et utsendt tegn 1 mottas som 0
med sannsynlighet 0.02 (og som 1 med sannsynlighet 0.98). Andelen utsendte 1 og 0 er
henholdsvis 0.6 og 0.4.
a) Dersom vi mottar 1, hvor stor er sannsynligheten for at det ble sendt 1?
b) Hvor stor er sannsynligheten for at et tilfeldig utvalgt tegn blir overført feil?

Fasit: a) 147/148 = 0.993
b) 0.016

Skal hjelpe deg hvis du prøver først

har tegnet opp et tre som viser alle mulighetene (tror jeg) og angitt sannsynlighetene for hver gren, som et hint men jeg er ganske blank på hvordan jeg skal gå frem

Glemte visst å svare på denne oppgaven tidligere i kveld, men bedre sent enn aldri.

Begynner med å definere hendelsene:
M1=mottatt 1
M0=mottatt 0
S1=sendt 1
S0=sendt 0

Har fra oppgaveteksten:
P(S1)=0.6
P(S0)=0.4
P(M1|S0)=0.01
P(M0|S0)=0.99
P(M1|S1)=0.98
P(M0|S1)=0.02

Det vi skal finne ut i oppgave a er P(S1|M1). Da bruker vi Bayes teorem:
P(S1|M1)=P(M1|S1)*P(S1)/P(M1)

Ser da at vi ikke har funnet P(M1) enda. Denne kan finnes ved å bruke lov om total sannsynlighet:
P(M1)=P(M1|S0)*P(S0)+P(M1|S1)*P(S1)=0.592

Setter dette inn i formelen:
P(S1|M1)=P(M1|S1)*P(S1)/P(M1)
P(S1|M1)=0.98*0.6/0.592=0.588/0.592=588/592=147/148

Oppgave b
Her velger jeg å endre litt på tidligere definisjon for å gjøre det litt enklere å forstå.
F=feil signal mottatt
Vet fra oppgave teksten at når en sender en 0 så er sannsynligheten 0.01 for at den blir mottatt feil; og når en sender 1 så er sannsynligheten 0.02
P(F|S0)=0.01
P(F|S1)=0.02

Lov om total sannsynlighet gir:
P(F)=P(F|S0)*P(S0)+P(F|S1)*P(S1)
P(F)=0.01*0.04+0.02*0.6=0.016

mange takk