matematikk.net

Er dette riktig?

Du skal bruke definisjonen av kontinuitet til å vise at funksjonen [tex]f(x) = 6x + 3[/tex] er kontinuerlig i [tex]a = 2[/tex]. Gitt en vilkårlig [tex]\epsilon > 0[/tex], hvor liten må du velge [tex]\delta[/tex] for at [tex]\left| f(x) - f(2) \right| < \epsilon[/tex] når [tex]\left| x-2\right| < \delta[/tex] ?

Løser først ulikheten [tex]\left| f(x) - f(2) \right| < \epsilon[/tex]

[tex]-\epsilon < 6x - 12 < \epsilon \ \Rightarrow \frac{-\epsilon}{6} + 2 < x < \frac{\epsilon}{6} + 2[/tex]

Må finne en verdi for [tex]\delta > 0[/tex] som plasserer [tex](x_0 - \delta,x_0 + \delta )[/tex] sentrert i [tex](\frac{-\epsilon}{6} + 2, \frac{\epsilon}{6} + 2)[/tex]

[tex]\delta = min\left{ 2 - \frac{-\epsilon}{6} +2 , \frac{\epsilon}{6} + 2 - 2 \right}[/tex]

[tex]\delta = min\left{\frac{\epsilon}{6}+4 , \frac{\epsilon}{6}\right}[/tex]

[tex]\delta < \frac{\epsilon}{6}[/tex]

Kan gjøres lettere ved å observere at

[tex]\left| f(x)-f(2)\right|=\left| 6x-12 \right|=6\left| x-2 \right|[/tex]