Differensiallikninger

[Eva]

Hei! Sliter veldig med noen oppgaver her. Har prøvd å tenke meg hva jeg skal gjøre, men kommer ikke fram til noe svar...

a) Finn den generelle løsningen til differensiallikningen
y'(t) = (a*y(t)) + b
der y(0) = C[sub]0[/sub] uttrykt ved hjelp av konstantene a, b og C[sub]0[/sub].

b) Vi har et kar på 20 liter som er fylt med en væske hvor det er blandet inn 10 mg av salt. Vi har så en løsning som inneholder 2 mg/l salt. Denne løsningen tilføres nå karet med 3 l/min. Overskytende væske renner ut av karet slik at volumet i karet er konstant hele tiden. Vi antar også at ved å røre om så vil konsentrasjonen av salt til enhver tid være konstant i hele karet.
La x(t) være mengde salt (i mg) i karet ved tiden t og sett opp en differensialligning som beskriver det som skjer i karet i situasjonen over.

c) Hvor mange liter væske må vi tilføre for at karet skal inneholde 15 mg salt?

Mvh Eva

[Cauchy]

Å løse difflikn i første oppg. regner jeg med dere har lært, det er ganske rett frem bruk av integrerende faktor og så bruke inertialverdien. Kan kanskje overbevise deg om at

y= (C[sub]0[/sub]+(b/a))*exp(a*t) - (b/a)

er den generelle løsningen.

I b gjelder det å få differensiallikningen på formen fra a). Finner at

(dx/dt) = 2*3 - 3*(x(t)/20)


Her er 2*3 så mange mg som kommer inn pr minutt, og det andre så mange mg som renner ut pr. minutt. Regner med at dette blir klart om du ser litt på oppgaveteksten, og ganger dette sammen. Da er det jo greit å kjenne igjen hvilke faktorer som må være konstantene fra a), ved sammenligning med oppgaven i a).

I oppgave c) må du bruke den generelle løsningen og løse for x(t) =15, med konstantene du fant i b).

Lykke til!!!