Grenseverdi

[primus]

Hei.

En stund siden jeg har hatt dette, og har dessverre mistet noen forelesninger grunnet sykdom. Trenger litt hjelp til å komme i gang.

Skal finne stigningstallet til en tangent gjennom denne grenseverdien:

lim(h->0) ( [symbol:rot] (4-(1+h)^2) - [symbol:rot] (4-1^2) ) / h

På forhånd, takk

[zell]

[tex]\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\sqrt{4 - (1+h)^2} - \sqrt{4-1}}{h}[/tex]

Dette er jo definisjonen for den deriverte, hvor du tydeligvis har en funksjon som ser slik ut:

[tex]f(x) = \sqrt{4-x^2}[/tex]

Ser ut til at linjen tangerer f(x) i f(1).

Stigningstall: [tex]a = f^{\prime}(x) = -\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}[/tex]

[tex]a = f^{\prime}(1) = -\frac{1}{\sqrt{3}}[/tex]

Kan jo alltids se på grenseverdien også:

[tex]\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\sqrt{4 - (1+h)^2} - \sqrt{4-1}}{h}[/tex]

Ganger med [tex]\sqrt{4-(1+h)^2} + \sqrt{3}[/tex] over og under brøkstrek.

[tex]\lim_{h\rightarrow 0} \frac{(\sqrt{4 - (1+h)^2} - \sqrt{3})(\sqrt{4-(1+h)^2} + \sqrt{3})}{h(\sqrt{4-(1+h)^2} + \sqrt{3})}[/tex]

[tex]= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{(4-(1+h)^2) + \sqrt{3}\sqrt{4 - (1+h)^2} - \sqrt{3}\sqrt{4 - (1+h)^2}-3}{h(\sqrt{4-(1+h)^2} + \sqrt{3})}[/tex]

[tex]\lim_{h\rightarrow 0} \ \frac{1-(1+h)^2}{h\sqrt{4-(1+h)^2}+h\sqrt{3}} = \lim_{h \rightarrow 0} \ \frac{- 2h - h^2}{h\sqrt{4-(1+h)^2}+h\sqrt{3}}[/tex]

Ganger med [tex]\frac{1}{h}[/tex] over og under brøkstrek:

[tex]\lim_{h\rightarrow 0} \ \frac{-2 - h}{\sqrt{3 - 2h - h^2} + \sqrt{3}} = \frac{-2-0}{\sqrt{3-0 -0} + \sqrt{3}} = \frac{-2}{2\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}[/tex]

[primus]

Ypperlig! Tusen takk for hjelp! Likte spesielt godt steg-for-steg utledningen av grenseverdien!