matematikk.net

Hei!
Regn ut flateintegralet [tex]\iint_S f(x,y,z) dS[/tex], der [tex]S[/tex] er flaten [tex]x=y^2+z^2, for y^2+z^2 \leq 1 og ,f(x,y,z)=x[/tex]

Da har jeg funnet dette integralet:

[tex]\iint kv.rot av hele({\frac{1}{4(x-y^2)[/tex][tex] + \frac{y^2}{x-y^2}[/tex][tex]+1)[/tex][tex]x dxdy[/tex]

Men så sliter jeg videre..spesiellt med å finne grensene

Jeg tviler sterkt på at det integralet ditt stemmer, fordi R du skal integere over ligger i yz-planet, det vil si normalvektoren på R er i, og nok ikke k som jeg tipper du brukte.

Også husk at gradientvektor i flateintegral er gradientvektoren til f(x,y,z)=c og ikke ikke gradientvektor til noe f(y,z)=x.

Her har det vel liten hensikt å tvinge integrasjonen ned i [tex]xy[/tex]-planet når alt ligger til rette for å integrere over en sirkulær disk i [tex]yz[/tex]-planet.

[tex]dS=\sqrt{1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^2+\left(\frac{dx}{dz}\right)^2}dydz=\sqrt{1+4y^2+4z^2}dydz[/tex]

Vi finner da at

[tex]\int\int_SxdS=\int\int_D(y^2+z^2)\sqrt{1+4y^2+4z^2}dydz[/tex]

der [tex]D[/tex] er enhetsdisken om origo i [tex]yz[/tex]-planet. Det må lønne seg å innføre polare koordinater, som gir

[tex]\int\int_SxdS=\int_0^{2\pi}\int_0^1 r^2\sqrt{1+4r^2}\;rdrd\theta[/tex]

Dette kan løses ved substitusjon [tex](u=1+4r^2)[/tex], og man får svaret
[tex]\frac{\pi(25\sqrt{5}+1)}{60}\approx 2.98[/tex]

Hvis du ikke klarer integrasjonen er

[tex]\int\int_SxdS=\int_0^{2\pi}\int_0^1 r^2\sqrt{1+4r^2}\;rdrd\theta[/tex]

svar godt nok