matematikk.net

Hvordan funker dette med fakultet og grenser? Fasiten gjør et eller annet i utregningen som jeg ikke får med meg.

[tex]lim _{n \rightarrow \infty }\frac{(n!)^2}{(2n)!}[/tex]?

muligens l'hopital? wild guess:-)

Nå er

[tex]0 \;<\; \frac{n!^2}{(2n)!} \;=\; \frac{n! \cdot (1 \cdot 2 \cdots n)}{n! \cdot (n+1)(n+2) \cdots (2n)} \;=\; \frac{1}{n+1} \, \cdot \, \frac{2}{n+2} \, \cdots \, \frac{n}{n + n} \; \leq \; \underbrace{\frac{1}{2} \, \cdot \, \frac{1}{2} \, \cdots \, \frac{1}{2}}_{n \: \mbox{ganger}} \;=\; \frac{1}{2^n}.[/tex]

Herav følger at

[tex]\lim_{n \rightarrow \infty} \: \frac{n!^2}{(2n)!} \:=\: 0.[/tex]