matematikk.net

god kveld.

Er det noen som kan forklare meg hva som avgjør hvilken faktorisering man skal bruke i nevneren når det gjelder å finne et uttrykk som skal la seg integrere v.h.a delbrøksopppatning?
Er det så at man alltid skal faktorisere polynomet ned til de minste mulige faktorer. Eller er det ikke alltid slik?

et illustererende eksempel:
[tex] \int \frac{dx}{x^{4} - 3x^{3}}[/tex]

For å kunne bruke delbrøksoppspaltning på denne, som jeg tror er eneste måte å løse integralet på, hvordan bør nevneren faktoriseres slik at videre utregning blir mulig? [tex]x^{3}(x - 3)?[/tex]

slik jeg har forstått det skal du alltid faktorisere til minste grad ja, ellers byr det på problemer når du skal begynne å regne videre.

ang. uttrykket du har lagt frem så kan det også løses ved kompleks analyse (residue-regning, men mulig du ikke har hatt dette).

uansett så har du et helt ok uttrykk som ikke bør by på store problemer

hehe, nei da, gikk greit det der , men synes bare det er merkverdig at det kun fungerer å regne videre med en spesiell faktorisering.
Prøver jeg med xx^2(x-3) får i hvert fall ikke jeg riktig svar, selv om det er en mer nøyaktig faktorisering. Då stemmer ikke matten lenger.
Derfor setter jeg spmtegn til om jeg har gått glipp av noen regler.[/tex]

som sagt, slik jeg forstod det da vi hadde forelesninger om emnet i matte1, så skal man alltid faktorisere slik at polene får høyest mulig grad.


ellers blir det som du har opplevd, bare tull :p

`hehe, Nå må du bestemme deg shroms. Skal du faktorisere til laveste eller høyeste grad.

Uansett kommer ikke jeg noe videre med delbøksoppspaltning av xx^2(x-3) i nevneren. med x^3(x-3) går det som smurt.

la meg illustrere:

[tex]\frac{1}{xx^2(x-3)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^{2}} + \frac{D}{x-3} = \frac{Ax^{2}(x-3) + (Bx^{2} + Cx)(x-3) + Dx^{3}}{xx^{2}(x-3)}[/tex]

når man så summerer koeffisientene til hver av gradene får man likningsettet

A+B+D=0 (koeff. til x^3)
-3A-3B+C=0 ( koeff. til x^2)
-3C=0 (koeff. til x)
0=1 (koeff. til 0 siden der ikke er noen konstantledd)???

Dette er jo riv ruskende. Noen Som ser hva som eventuelt er feil med denne fremgangsmåten?

pingoµ skrev:`hehe, Nå må du bestemme deg shroms. Skal du faktorisere til laveste eller høyeste grad.

oi, jeg skrev nok feil i første innlegget. uansett, pol av høyeste grad for alle penga

vet det ikke er dette du spør om, men hvis du ikke kan denne metoden, så kan det evnt spare deg for arbeid i enkelte db.os. oppgaver i fremtiden:)



[tex]{{Ax^2 + Bx + C} \over {x^3 }} + {D \over {(x - 3)}} = {1 \over {x^3 (x - 3)}}[/tex]

for å finne konstantene (A,B,C,D) kan du multiplisere opp med polen for en av brøkene på begge sider av likhetstegnet

for D:

[tex]{{(Ax^2 + Bx + C)(x - 3)} \over {x^3 }} + {{D(x - 3)} \over {(x - 3)}} = {{(x - 3)} \over {x^3 (x - 3)}}[/tex]

[tex]{{{\rm (Ax}^{\rm 2} + Bx + C)(x - 3)} \over {x^3 }} + D = {1 \over {x^3 }}[/tex]

sett så inn
[tex]x = 3[/tex]

som gir deg

[tex]D = {1 \over {3^3 }} = {1 \over {27}}[/tex]

for C:

[tex]{{(Ax^2 + Bx + C)(x^3 )} \over {x^3 }} + {{D(x^3 )} \over {(x - 3)}} = {{1(x^3 )} \over {x^3 (x - 3)}}[/tex]

[tex]Ax^2 + Bx + C + {{Dx^3 } \over {(x - 3)}} = {1 \over {(x - 3)}}[/tex]

sett så inn

[tex]x = 0[/tex]

som gir deg

[tex]C = - {1 \over 3}[/tex]

for B:

[tex]{{(Ax^2 + Bx + C)(x^3 )} \over {x^3 }} + {{D(x^3 )} \over {(x - 3)}} = {{1(x^3 )} \over {x^3 (x - 3)}}[/tex]

deriver på begge sider

[tex]2Ax + B + {{3Dx^2 (x - 3) - Dx^3 } \over {(x - 3)^2 }} = {{ - 1} \over {(x - 3)^2 }}[/tex]

sett så inn

[tex]x = 0[/tex]

som gir deg

[tex]B = - {1 \over 9}[/tex]

for A:

(hoppet rett på det deriverte uttrykket)

[tex]2Ax + B + {{3Dx^2 (x - 3) - Dx^3 } \over {(x - 3)^2 }} = {{ - 1} \over {(x - 3)^2 }}[/tex]

deriver igjen (dvs dobbelderivert når du er ferdig)

[tex]2A + blabalbaforD = {{ - 2(x - 3)( - 1)} \over {(x - 3)^4 }}[/tex]

som gir deg

[tex]2A = {2 \over {(x - 3)^3 }}[/tex]

sett så inn

[tex]x = 0[/tex]

som gir deg

[tex]A = {1 \over {( - 3)^3 }} = - {1 \over {27}}[/tex]



en alternativ måte å løse db.os på

kan være tungvint å bruke når du har pol av n-te orden, men utrolig bra å bruke når du har f.eks flere forskjellige poler av første orden (typ. (x-3)(x-4)(x-n)...osv


ut fra det du skriver om den alternative faktoriseringen du prøver deg på, så virker det også som at det er slik jeg skrev lenger opp, at du må faktorisere til poler av høyeste grad.

er jo greit om noen andre kan bekrefte, er tross alt en stund siden jeg hadde om dette emnet nå.