Komplekse tall

[moth]

Jeg leste litt om komplekse tall, så jeg tenkte jeg skulle prøve meg på en oppgave, men jeg er ikke helt sikker på hvordan jeg skal gå frem. Oppgaven er:

Finn alle komplekse løsninger på formen z = x + iy
[tex]z^2+(3+3i)z+5i=0[/tex]

Men fungerer det vanlige regneregler på slike ligninger? Kan jeg gjøre dette:

[tex]z^2+(3+3i)z+5i=0[/tex]

[tex]z^2+3z+3iz+5i=0[/tex]

[tex]z=-3-i3-\frac{i5}{z}[/tex]

[tex]z=-3-i\frac{3z-5}{z}[/tex]

Det går vel ikke an å si at dette er en løsning
Men har jeg gjort helt feil eller er det noen spesielle regler man må bruke?

PS: Har det noe å si om man skriver f.eks. 3i eller i3?

[TrulsBR]

For å kunne løse en slik oppgave er det nødvendig at du kjenner til hvordan man tar (kvadrat)røtter av komplekse tall. Når dette er på plass kan du fullføre kvadratet, evt. bruke "ABC-formelen" slik som vanlig.

Det er vel konvensjon å skrive b*i, hvor b er reell.

[moth]

Ok, takk skal du ha. Betyr det at jeg må omgjøre det til polarform da eller?

[TrulsBR]

Bare hyggelig! Å skrive radikanden om til polarform er den vanlige måten å gjøre det på, ja.

[Janhaa]

Jeg leste litt om komplekse tall, så jeg tenkte jeg skulle prøve meg på en oppgave, men jeg er ikke helt sikker på hvordan jeg skal gå frem. Oppgaven er:
Finn alle komplekse løsninger på formen z = x + iy
[tex]z^2+(3+3i)z+5i=0[/tex]
Men fungerer det vanlige regneregler på slike ligninger? Kan jeg gjøre dette:
[tex]z^2+(3+3i)z+5i=0[/tex]

Ja, bruk ABC-formel'n som TrulsBR nevnte. 3i og i3 er ekvivalente, men sistnevnte er vel mest vanlig (mener jeg).

Hvis jeg ikke har driti på draget mener jeg;

[tex]\text Z_1=-2\,-\,i \text \,\,\,eller \,\,Z_2=-1\,-\,2i[/tex]

[moth]

Ok, jeg prøver.

[tex]z^2+(3+3i)z+5i=0[/tex]

[tex]z^2+uz+5i=0[/tex]

[tex]z=\frac{-1\pm\sqrt{-19}}{2}[/tex]

No må jeg vel kanskje skrive det om til polarform, men har jeg gjort det riktig så langt? Var ganske usikker på den substitusjonen.

Jeg sjekket fasiten og dine svar var riktig Janhaa (selvfølgelig )

[moth]

Jeg måtte jukse litt og se på løsningsforslaget så no prøver jeg igjen.

[tex]z^2+(3+3i)z+5i=0[/tex]

[tex]z=\frac{-(3+3i)\pm\sqrt{(3+3i)^2-4(5i)}}{2}[/tex]

[tex]z=\frac{-(3+3i)\pm\sqrt{9+(3\cdot3i)+(3\cdot3i)+9i^2-4(5i)}}{2}[/tex]

[tex]z=\frac{-(3+3i)\pm\sqrt{9+9i+9i-9-20i}}{2}[/tex]

[tex]z=\frac{-(3+3i)\pm\sqrt{-2i}}{2}[/tex]

[tex]z=\frac{-(3+3i)}{2}\pm\frac{\sqrt{-2i}}{2}[/tex]

Skriver det under rottegnet om til polarform

[tex]z=-2i=2e^{i\theta}=2e^{-i\frac{\pi}{2}}[/tex]

[tex]\theta=\frac{\pi}{2}[/tex]

Så då har vi

[tex]z=\frac{-(3+3i)}{2}\pm\frac{\sqrt{2e^{-i\frac{\pi}{2}}}}{2}[/tex]

Noen som kan forklare hvordan man finner theta i dette tilfellet?

[Charlatan]

Bruk potensregler. Husk at [tex]\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}[/tex]

[moth]

Ja det vet jeg, men jeg mente hvordan man finner theta. Det skal jo være arctan(y/x), men her er det jo kun ett y-ledd. Altså -2. Med god hjelp har jeg kommet fram til at det er fordi det x-leddet er null og når du tar arctan av en brøk med 0 i nevner blir alltid vinkelen 90[tex]\textdegree[/tex]. Og det stemmer jo ganske bra med at tangens til 90[tex]\textdegree[/tex] er udefinert og så jeg satser på at det er riktig.
Jeg prøver videre

[tex]z=\frac{-(3+3i)}{2}\pm\frac{\sqrt{2e^{-i\frac{\pi}{2}}}}{2}[/tex]

Bruker regelen som sier at ett tall som ganges med en rot kan puttes inn i roten hvis den opphøyes i to, i revers

[tex]z=\frac{-(3+3i)}{2}\pm\frac{sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}}{2}[/tex]

Gjør om til normalform ved hjelp av [tex]Re^{i\theta}=R(cos\theta+i sin\theta)[/tex]

[tex]\frac{sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}}{2}=\sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4})=\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2})=\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}+i\frac{1}{\sqrt{2}})=1+i[/tex]

Så då har vi

[tex]z=\frac{-(3+3i)}{2}\pm\frac{1+i}{2}[/tex]

[tex]2z=-3-i3\pm 1+i[/tex]

[tex]2z_1=-2-i2\text{ }V\text{ }2z_2=-4-i4[/tex]

[tex]z_1=-1-i\text{ }V\text{ }z_2=-2-i2[/tex]

Ble jo nesten riktig, men er det noen som kan se hvor jeg har gjort feil?

[TrulsBR]

Såvidt jeg kan se ligger feilen her:

[tex]\frac{sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}}{2}\neq\sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4})[/tex]

[moth]

Det har du jo helt rett i

Det skal selvfølgelig stå: [tex]\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4})[/tex]

Då skal det vel være riktig, og då blir jo det lik [tex]1-i[/tex] så ligningen blir den samme, så kan jo ikke være problemet det?

[TrulsBR]

Du har også glemt at vinkelen din er negativ. Det går greit med realdelen, siden cos(-u)=cos(u), men sin(-u)=-sin(u), derfor får du feil fortegn på imaginærdelen.

[moth]

Aha, takk skal du ha
Altså hadde jeg rett i min forrige post, selv om jeg skrev feil

Då har jeg den

[tex]z=\frac{-(3+3i)}{2}\pm\frac{1-i}{2}[/tex]

[tex]2z=-3-i3\pm1-i[/tex]

[tex]z_1=-1-i2\text{ }V\text{ }z_2=-2-i[/tex]

Endelig i mål, takk for all hjelp!

[TrulsBR]

Bra! Og som vanlig kan du selvfølgelig også sette prøve på svarene, for å sjekke at de faktisk stemmer.

[tex]\LaTeX[/tex]-tips: \vee gir [tex]\vee[/tex].

[moth]

Takk for latex-tipset. Siden jeg var så godt igang så kan jeg likegodt sette på prøve og.

[tex]z_1\text{ }\rightarrow\text{ }(-1-i2)^2+(3+3i)(-1-i2)+5i[/tex]

[tex]z_1\text{ }\rightarrow\text{ }1+4i-4-3-6i-3i+6+5i[/tex]

[tex]z_1\text{ }\rightarrow\text{ }0[/tex]

[tex]\vee[/tex]

[tex]z_2\text{ }\rightarrow\text{ }(-2-i)^2+(3+3i)(-2-i)+5i[/tex]

[tex]z_2\text{ }\rightarrow\text{ }4+4i-1-6-3i-6i+3+5i[/tex]

[tex]z_2\text{ }\rightarrow\text{ }0[/tex]