y=(x^2-x+1)/x ; x>0
a) Bestem kurvens asymptoter. Finn eventuelle ekstremalpunkter og skisser kurva.
b) Finn det punktet på kurven som ligger nærmest punktet (0,-1).
Har ikkje vært så mye borti asymptoter
. Trenger litt hjelp til det andre også.asymptoter?
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
ei kurve er gitt ved:
y=(x^2-x+1)/x ; x>0
a) Bestem kurvens asymptoter. Finn eventuelle ekstremalpunkter og skisser kurva.
b) Finn det punktet på kurven som ligger nærmest punktet (0,-1).
Har ikkje vært så mye borti asymptoter . Trenger litt hjelp til det andre også.
y=(x^2-x+1)/x ; x>0
a) Bestem kurvens asymptoter. Finn eventuelle ekstremalpunkter og skisser kurva.
b) Finn det punktet på kurven som ligger nærmest punktet (0,-1).
Har ikkje vært så mye borti asymptoter
. Trenger litt hjelp til det andre også.-
*Sorcerer*
- Cantor
- Innlegg: 111
- Registrert: 16/12-2005 21:17
Du kan jo alltid plotte funksjonen for å finne asymptotene, men det er litt verre å vise det matematisk.
Vertikale asymptoter er lette å finne, de oppstår når f(x) går mot [symbol:plussminus] uendelig når x går mot et tall. Og det er der vi har et bruddpunkt i funksjonen. Altså for den x verdien der nevneren blir null.
Videre om asymptoter kan du lese her: http://www.matematikk.net/ressurser/per ... php?aid=36
Vertikale asymptoter er lette å finne, de oppstår når f(x) går mot [symbol:plussminus] uendelig når x går mot et tall. Og det er der vi har et bruddpunkt i funksjonen. Altså for den x verdien der nevneren blir null.
Videre om asymptoter kan du lese her: http://www.matematikk.net/ressurser/per ... php?aid=36
Usus magister est optimus
Dette er hvordan jeg gjorde b:
Anta en sirkel i punktet [tex](0,-1)[/tex]
Funksjonen vil da bli:
[tex]x^2+(y-1)^2=a^2[/tex]
Hvor a er radiusen til sirkelen.
De mulige verdiene for x og y er verdiene for x og f(x) i den opprinnelige funksjonen. Vi setter inn for verdiene:
[tex]x^2+(x-1+\frac{1}{x}-1)^2=a^2 \\ 2x^2+\frac{1}{x^2}=a^2 \\ a=\sqrt{2x^2+\frac{1}{x^2}}[/tex]
Vi har nå en funksjon [tex]a=f(x)[/tex] for avstanden a fra punktet til funksjonen. Vi vil finne ut når denne er minst.
[tex]f(x)=\sqrt{2x^2+\frac{1}{x^2}[/tex]
Vi deriverer:
[tex]f^\prime(x)=\frac{4x-\frac{1}{x^3}}{2\sqrt{2x^2+\frac{1}{x^2}}}[/tex]
For å finne ut når denne er minst\mest setter vi den lik 0.
[tex]f^\prime(x)=0 \\ \frac{4x-\frac{1}{x^3}}{2\sqrt{2x^2+\frac{1}{x^2}}}=0[/tex]
Vi ser at denne funksjonen kun kan være lik 0 når [tex]4x-\frac{1}{x^3}[/tex] er lik 0, så vi setter:
[tex]4x-\frac{1}{x^3}=0 \\ 4x=\frac{1}{x^3} \\ 4x^4=1 \\ x^4=\frac14 \\ x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}[/tex]
Dette må være en verdi som gjør radiusen til minst mulig fordi:
Den største mulige radiusen er uendelig, siden funksjonen har en vertikal asymptote.
Vi kan lage et fortegnsskjema for å bevise det, men jeg utelater det her.
Radiusen til sirkelen er altså minst når [tex]x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex].
[tex]f(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}+1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}-1[/tex]
[tex]f(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}+1}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = -\frac{3\sqrt{2}}{2}-1[/tex]
Punktene på grafen som ligger nærmest [tex](0,-1)[/tex] er altså [tex](\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{2}}{2}-1) \ , \ (-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{3\sqrt{2}}{2}-1)[/tex]
Sikkert en mye lettere måte å regne det ut på
Anta en sirkel i punktet [tex](0,-1)[/tex]
Funksjonen vil da bli:
[tex]x^2+(y-1)^2=a^2[/tex]
Hvor a er radiusen til sirkelen.
De mulige verdiene for x og y er verdiene for x og f(x) i den opprinnelige funksjonen. Vi setter inn for verdiene:
[tex]x^2+(x-1+\frac{1}{x}-1)^2=a^2 \\ 2x^2+\frac{1}{x^2}=a^2 \\ a=\sqrt{2x^2+\frac{1}{x^2}}[/tex]
Vi har nå en funksjon [tex]a=f(x)[/tex] for avstanden a fra punktet til funksjonen. Vi vil finne ut når denne er minst.
[tex]f(x)=\sqrt{2x^2+\frac{1}{x^2}[/tex]
Vi deriverer:
[tex]f^\prime(x)=\frac{4x-\frac{1}{x^3}}{2\sqrt{2x^2+\frac{1}{x^2}}}[/tex]
For å finne ut når denne er minst\mest setter vi den lik 0.
[tex]f^\prime(x)=0 \\ \frac{4x-\frac{1}{x^3}}{2\sqrt{2x^2+\frac{1}{x^2}}}=0[/tex]
Vi ser at denne funksjonen kun kan være lik 0 når [tex]4x-\frac{1}{x^3}[/tex] er lik 0, så vi setter:
[tex]4x-\frac{1}{x^3}=0 \\ 4x=\frac{1}{x^3} \\ 4x^4=1 \\ x^4=\frac14 \\ x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}[/tex]
Dette må være en verdi som gjør radiusen til minst mulig fordi:
Den største mulige radiusen er uendelig, siden funksjonen har en vertikal asymptote.
Vi kan lage et fortegnsskjema for å bevise det, men jeg utelater det her.
Radiusen til sirkelen er altså minst når [tex]x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex].
[tex]f(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}+1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}-1[/tex]
[tex]f(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}+1}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = -\frac{3\sqrt{2}}{2}-1[/tex]
Punktene på grafen som ligger nærmest [tex](0,-1)[/tex] er altså [tex](\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{2}}{2}-1) \ , \ (-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{3\sqrt{2}}{2}-1)[/tex]
Sikkert en mye lettere måte å regne det ut på
