Avgjør om rekken konvergerer eller divergerer. Finn summen hvis den konvergerer.
a)
[symbol:uendelig]
[symbol:sum] ((2/n)-(1/2[sup]n[/sup]))
n=1
b)
[symbol:uendelig]
[symbol:sum] (2[sup]n[/sup]+3[sup]n[/sup])/5[sup]n[/sup]
n=0
c)
[symbol:uendelig]
[symbol:sum] (2[sup]n[/sup]+5[sup]n[/sup])/3[sup]n[/sup]
n=0
rekker
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Svarer på a) først:
[symbol:uendelig]
[symbol:sum] ((2/n) - (1/(2^n)), der f(n)=((2/n) - (1/(2^n))
n=1
Denne rekken divergerer. Man kan bruke integraltesten hvis en antar f(x) er monoton funsjon og f(x)>0 for x større eller lik 1. Og det stemmer.
[symbol:uendelig]
[symbol:sum] f(n) er bare konvergent hvis integralet (I) eksisterer
n=1
[symbol:uendelig]
[symbol:integral] f(x)dx = I
n=1
[symbol:uendelig]
I = [symbol:integral]((2/x) - (2^-x))= [2lnx + (2^-x)/ln2]
n=1
og her er nedre grense 1 og øvre grense [symbol:uendelig]. Altså eksisterer ikke integralet (I), den har ikke en endelig verdi. Derfor vil rekken:
[symbol:uendelig]
[symbol:sum] ((2/n) - (1/(2^n)) divergere
n=1
[symbol:uendelig]
[symbol:sum] ((2/n) - (1/(2^n)), der f(n)=((2/n) - (1/(2^n))
n=1
Denne rekken divergerer. Man kan bruke integraltesten hvis en antar f(x) er monoton funsjon og f(x)>0 for x større eller lik 1. Og det stemmer.
[symbol:uendelig]
[symbol:sum] f(n) er bare konvergent hvis integralet (I) eksisterer
n=1
[symbol:uendelig]
[symbol:integral] f(x)dx = I
n=1
[symbol:uendelig]
I = [symbol:integral]((2/x) - (2^-x))= [2lnx + (2^-x)/ln2]
n=1
og her er nedre grense 1 og øvre grense [symbol:uendelig]. Altså eksisterer ikke integralet (I), den har ikke en endelig verdi. Derfor vil rekken:
[symbol:uendelig]
[symbol:sum] ((2/n) - (1/(2^n)) divergere
n=1
b) Denne rekken konvergerer
[symbol:uendelig]
[symbol:sum] (((2^n) + (3^n)) / 5^n) kan skrives som
n=0
[symbol:uendelig]
[symbol:sum] (2 / 5)^n +
n=0
[symbol:uendelig]
[symbol:sum] (3 / 5)^n
n=0
hvis
lim a(n+1) / a(n) = k , så vil rekken konvergere for k<1
n--> [symbol:uendelig]
Jeg bruker forholdskriteriet: (stiplete linje er hovedbrøkstrek)
a(n+1) / a(n) =
[(2^n+1) + (3^n+1) / (5^n+1)]
-------------------------------------- , altså brudden brøk
[(2^n) + (3^n) / (5^n)]
a(n+1) / a(n) = (1/5)*3 = 3/5 < 1 og dermed konvergerer rekken.
Summen av rekken, S = S1 + S2:
S1:
[symbol:uendelig]
[symbol:sum] (2 / 5)^n = 1 / (1 - (2/5)) = 5/3
n=0
S2:
[symbol:uendelig]
[symbol:sum] (3 / 5)^n = 1 / (1 - (3/5)) = 5/2
n=0
Slik at S = 25/6
[symbol:uendelig]
[symbol:sum] (((2^n) + (3^n)) / 5^n) kan skrives som
n=0
[symbol:uendelig]
[symbol:sum] (2 / 5)^n +
n=0
[symbol:uendelig]
[symbol:sum] (3 / 5)^n
n=0
hvis
lim a(n+1) / a(n) = k , så vil rekken konvergere for k<1
n--> [symbol:uendelig]
Jeg bruker forholdskriteriet: (stiplete linje er hovedbrøkstrek)
a(n+1) / a(n) =
[(2^n+1) + (3^n+1) / (5^n+1)]
-------------------------------------- , altså brudden brøk
[(2^n) + (3^n) / (5^n)]
a(n+1) / a(n) = (1/5)*3 = 3/5 < 1 og dermed konvergerer rekken.
Summen av rekken, S = S1 + S2:
S1:
[symbol:uendelig]
[symbol:sum] (2 / 5)^n = 1 / (1 - (2/5)) = 5/3
n=0
S2:
[symbol:uendelig]
[symbol:sum] (3 / 5)^n = 1 / (1 - (3/5)) = 5/2
n=0
Slik at S = 25/6
På den siste rekken c) bruker jeg n'te rot testen for å
vise at rekken divergerer:
[symbol:uendelig]
Σ [(2^n) + (5^n) / 3^n] = a(n1) + a(n2)
n=0
[symbol:uendelig]
[symbol:sum] (2/3)^n = a(n1) +
n=0
[symbol:uendelig]
[symbol:sum] (5/3)^n a(n2)
n=0
Altså n'te rot testen gir: (an1)^1/n = ((2/3)^n)^1/n = 2/3
og (an2)^1/n = ((5/3)^n)^1/n =5/3
Og (an1)^1/n + (an2)^1/n = (2+5)/3 = 7/3 > 1, derfor divergerer rekken
vise at rekken divergerer:
[symbol:uendelig]
Σ [(2^n) + (5^n) / 3^n] = a(n1) + a(n2)
n=0
[symbol:uendelig]
[symbol:sum] (2/3)^n = a(n1) +
n=0
[symbol:uendelig]
[symbol:sum] (5/3)^n a(n2)
n=0
Altså n'te rot testen gir: (an1)^1/n = ((2/3)^n)^1/n = 2/3
og (an2)^1/n = ((5/3)^n)^1/n =5/3
Og (an1)^1/n + (an2)^1/n = (2+5)/3 = 7/3 > 1, derfor divergerer rekken