Deriverbar

[Bunnkvarken]

Hvordan kan jeg vise at f(x)={(1/x^3)*e^-1/x^2, når x≠0, 0 når x=0 er deriverbar i 0. Videre hvordan finner man så f’(0)?

[fish]

Jeg antar at du mener [tex]f(x)=\frac{1}{x^3}e^{-\frac{1}{x^2}}[/tex]. Hvis [tex]f'(0)[/tex] skal eksistere, må den bli lik grenseverdien
[tex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^4}[/tex]. Hvis du setter [tex]t=1/x^2[/tex], kan grenseverdien også skrives
[tex]\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{t^2}{e^t}[/tex], som lar seg behandle på vanlig måte vha for eksempel Hospitals regel.

[alexfefun1]

For å vise at funksjonen $f(x)$ er deriverbar i $x=0$, må vi sjekke om grensen for differenskvotienten eksisterer når $x$ nærmer seg 0. Differenskvotienten for $f$ i $x=0$ er gitt ved:

$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h}$

Vi er gitt at $f(0) = 0$. For $h \neq 0$, har vi $f(h) = \frac{1}{h^3}e^{-1/h^2}$. Dermed blir uttrykket for $f'(0)$:

$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{h^3}e^{-1/h^2} - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h^4}e^{-1/h^2}$

For å evaluere denne grensen, kan vi gjøre en substitusjon. La $t = 1/h$. Når $h \to 0$, vil $|t| \to \infty$. Da blir $h^4 = 1/t^4$ og $1/h^2 = t^2$. Dermed kan vi skrive grensen som:

$f'(0) = \lim_{t \to \pm \infty} t^4 e^{-t^2} = \lim_{t \to \pm \infty} \frac{t^4}{e^{t^2}}$

Dette er en grense av formen $\frac{\infty}{\infty}$, så vi kan bruke L'Hôpitals regel. Vi må bruke regelen flere ganger. La oss betrakte grensen når $t \to \infty$.

$\lim_{t \to \infty} \frac{t^4}{e^{t^2}}$

Anvender L'Hôpitals regel første gang:
$\lim_{t \to \infty} \frac{4t^3}{2te^{t^2}} = \lim_{t \to \infty} \frac{2t^2}{e^{t^2}}$

Anvender L'Hôpitals regel andre gang:
$\lim_{t \to \infty} \frac{4t}{2te^{t^2}} = \lim_{t \to \infty} \frac{2}{e^{t^2}}$

Når $t \to \infty$, går $e^{t^2} \to \infty$, så grensen blir $\frac{2}{\infty} = 0$.

Vi må også sjekke grensen når $t \to -\infty$. Siden $t^4$ og $e^{t^2}$ begge er like for $t$ og $-t$, vil grensen være den samme:

$\lim_{t \to -\infty} \frac{t^4}{e^{t^2}} = 0$

Siden grensen fra begge sider er 0, eksisterer grensenai-hug.org :

$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = 0$

Dette viser at funksjonen $f(x)$ er deriverbar i $x=0$, og verdien av den deriverte i $x=0$ er $f'(0) = 0$.

**Oppsummering av stegene:**

1. Bruk definisjonen av den deriverte i et punkt: $f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h}$.
2. Sett inn de gitte verdiene $f(0) = 0$ og $f(h) = \frac{1}{h^3}e^{-1/h^2}$ for $h \neq 0$.
3. Forenkle uttrykket til $f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h^4}e^{-1/h^2}$.
4. Utfør substitusjonen $t = 1/h$ for å få grensen $\lim_{t \to \pm \infty} \frac{t^4}{e^{t^2}}$.
5. Bruk L'Hôpitals regel flere ganger for å evaluere grensen.
6. Konkluder at grensen er 0, som betyr at $f(x)$ er deriverbar i $x=0$ og $f'(0) = 0$.

Dermed har vi vist at $f(x)$ er deriverbar i $0$, og vi har funnet at $f'(0) = 0$.

[alexfefun1]

and also thank you help me a a lot about my gamepad tester project