Funksjonsdrifting

[eirikvevatne]

Vi har likningen
3x*cos(x)-ax=0

For hvilken verdi av a har likningen
a) en løsning
b) to løsninger
c) tre løsninger

Jeg får løst oppgaven i Geogebra, men hvordan regner jeg meg fram til svaret. Noen som kan hjelpe?

[SveinR]

Jeg antar at $x$ begrenses til $[0, 2\pi]$, ellers blir det vanskelig å få kun to eller tre løsninger i stedet for uendelig mange.

$3x\cdot\cos(x)-ax=0$

Faktoriserer ut $x$:
$x\left(3\cos(x) - a\right) = 0$

For denne likningen vil $x=0$ alltid være en løsning uavhengig av verdien på $a$. Det vi ser etter er dermed når uttrykket i parentesen har enten ingen, én eller to løsninger (som da vil gi hhv. én, to eller tre løsninger på den opprinnelige likningen):

$3\cos(x) - a = 0$
Gir
$\cos{x} = \frac{a}{3}$

Kommer du videre da? Tenk på enhetssirkelen, og hvilke verdier $\cos(x)$ kan ha.

[eirikvevatne]

Jeg er veldig usikker på dette. Skulle gjerne hatt lit mere hjelp

[Mattebruker]

Likninga

3x [tex]\cdot[/tex] cosx - a x = 0

splittast opp i to "dellikningar" ved å faktorisere V. S. ( setje x utafor ein parantes) og bruke produktregelen ( p [tex]\cdot[/tex] q = 0 [tex]\Leftrightarrow[/tex] p = 0 [tex]\vee[/tex] q = 0 ) .

Da endar vi opp med desse delløysingane: x = 0 eller 3 cosx - a = 0 [tex]\Leftrightarrow[/tex] x = 0 eller cosx = [tex]\frac{a}{3}[/tex] ( jamfør SveinR sin presentasjon )

Den eine løysinga ( x = 0 ) er openbart uavhengig av verdien til konstanten a. Drøftinga er såleis knytt til likninga

( * ) cosx = [tex]\frac{a}{3}[/tex]

Talet på løysingar til ( * ) kan vi lese av på einingssirkelen slik SveinR antyder. For min eigen del føler eg at denne infoen er lettast tilgjengeleg når eg brukar
cos( x ) - grafen som hjelpefigur ( 0 [tex]\leq[/tex] x [tex]<[/tex] 2 [tex]\pi[/tex] ) .

Ettersom V[tex]_{cos}[/tex] = [ - 1 , 1 ] kan vi slå fast at

1) likn. ( * ) har inga løysing når [tex]\frac{a}{3}[/tex] [tex]<[/tex] - 1 eller [tex]\frac{a}{3}[/tex] [tex]>[/tex] 1 [tex]\Leftrightarrow[/tex] a [tex]<[/tex] - 3 [tex]\vee[/tex] a [tex]>[/tex] 3

2) Grafen til cosx viser dessutan at likn. ( * ) har ei løysing når cosx =[tex]\frac{a}{3}[/tex] = 1
( x = 0 ) eller cosx = [tex]\frac{a}{3}[/tex] = - 1 ( x = [tex]\pi[/tex] ) [tex]\Leftrightarrow[/tex] a = -3 eller a = 3

3) Endeleg ser vi at linja y = [tex]\frac{a}{3}[/tex] skjer cosx- grafen i to punkt når -1 [tex]<[/tex] [tex]\frac{a}{3}[/tex] [tex]<[/tex] 1 [tex]\Leftrightarrow[/tex] ? [tex]<[/tex] a [tex]<[/tex] ?

OPPSUMMERING

Likninga 3x [tex]\cdot[/tex] cosx - a x = 0 har

.................. 1 løysing når a [tex]<[/tex] - 3 eller ........ o.s.v.

..................... 2 løysingar når a = - 3 eller ....... o.s.v.

.................... 3 løysingar når - 3 [tex]<[/tex] a ...... o.s.v

[eirikvevatne]

Tusen takk. Dett gav mening