Trigonometrisk ligning

[ylvam]

Har en trigonometrisk ligning her jeg står helt fast på: 6cosx+sqrt(30sinx)=0. Noen som har noen tanker?

[Aleks855]

Jeg ville starta med å få cosinus og sinus på hver sin side av likhetstegnet, og deretter kvadrere begge sider.

Da skal du få noe slik som $30\sin(x) = 36\cos^2(x)$.

Deretter, gitt at $\cos^2(x) = 1-\sin^2(x)$ så får du bytta ut cosinusuttrykket med et nytt sinusuttrykk, slik at du nå bare har sinus.

Deretter, flytt alt over på én side igjen. Det skal da være en andregradslikning for $\sin(x)$.

[Mattebruker]

Andregradslikninga til Aleks855 her berre ei løysing (sin(x) = [tex]\frac{2}{3}[/tex] ) ettersom V[tex]_{sin}[/tex] = [ -1 , 1 ].
Likninga

sinx = [tex]\frac{2}{3}[/tex]

har ei løysing i 1. kvadrant og ei løysing i 2. kvadrant ( to vinklar med sum lik [tex]\pi[/tex] ( 180[tex]^{0}[/tex] ) har same sin-verdi ), men berre
ei av desse løysingane passar inn i den opphavelege likninga. Denne løysinga må nødvendigvis ligge i den kvadranten der sin og cos har motsett forteikn, m.a.o.
må den ligge i ... ?.... . kvadrant.

[ylvam]

Takk! Ja, var litt slik jeg tenkte, men jeg fikk to svar og fasit sier at bare ett av de er riktige. Hvorfor er bare 2.412 og ikke 0.729 løsning?

[Aleks855]

Takk! Ja, var litt slik jeg tenkte, men jeg fikk to svar og fasit sier at bare ett av de er riktige. Hvorfor er bare 2.412 og ikke 0.729 løsning?

Når vi kvadrerer ei likning, så får vi ofte en ekstra løsning som ikke tilfredsstiller den opprinnelige likninga.

Det er derfor viktig å sette prøve på svaret på slutten for å se om dette har skjedd.

Det funker å bare sette inn begge svarene i den opprinnelige likninga. Men den argumentasjonen Mattebruker gir her er ekstra elegant, fordi den betrakter at sin(x) og cos(x) må ha forskjellig fortegn. x=2.412 (i andre kvadrant) tilfredsstiller dette, men ikke x=0.729.