Bevis og problemløsning

[nameless000]

2. På et bord står det to beholdere som begge inneholder litt vann. Uansett hvilken beholder du velger, vil den andre beholderen akkurat bli fylt opp når du tømmer halvparten over i den. Den ene beholderen rommer 20 liter og er 30% full. Hvor mye rommer den andre?

[jos]

1.Hvis alle sidene i en rettvinklet trekant er heltallige, må de utgjøre et pytagoreisk trippel. De kan genereres ut fra formlene.

$ x = 2st$
$y = s^2 - t^2$
$z = s^2 + t^2$

Her er $s$ og $t$ heltall og $s\,$er partall hvis t er odde og omvendt. Arealet av trekanten blir $ 2st * (s^2 -t^2) * \frac{1}{2} = st * (s^2 - t^2)$ som er et heltall.

[Mattebruker]

Meiner at framstillinga til Josi har ei svakheit. I beviset ditt tek du for gitt at eine kateten ( x = 2 s t ) er eit partal. Men dette er eigentleg ein påstand , og det er vel nett
denne påstanden som skal bevisast.
Mitt forslag: Anta at begge katetane er odde heiltal, og vis at denne premissen fører fram til at kvadratet av hypotenusen ikkje er eit kvadrattal.

[jos]

s og t er heltall. Da må vel 2*s*t være et partall?

Her forutsetter jeg at uttrykkene

$x = 2st,
y = s^2 - t^2,
z = s^2 + t^2$

genererer alle (primitive) pytagoreiske tripler når s og t er heltall, s er odde hvis t er partall og omvendt og s er større enn t.

[Mattebruker]

s og t er heltall. Da må vel 2*s*t være et partall?

Det har du heilt rett i , men for at beviset skal vere " vanntett " , må vi samtidig kunne utelukke den mulegheita at begge katetane er odde ( .. eller blir dette ei avsporing ? )

[jos]

Ser ut som innleggene våre har krysset hverandre. Mitt poeng er at jeg forutsetter at formlene for generering av pytagoreiske tripler stemmer.

[Gustav]

Det er ikke feil å bruke generering av alle pytagoreiske tripler, men påstanden kan også bevises vha motsigelse. Anta katetene begge er odde, og utled en motsigelse ved hjelp av pytagoras.

[Mattebruker]

Det er ikke feil å bruke generering av alle pytagoreiske tripler, men påstanden kan også bevises vha motsigelse. Anta katetene begge er odde, og utled en motsigelse ved hjelp av pytagoras.

Josi har levert ei " vanntett" løysing. Ingen tvil om det ! Takk for sakleg og seriøs ordveksling.

[Gustav]

Strengt tatt burde man vel sagt at gitt en pytagoreisk trekant med sider $a,b,c$ der $a^2+b^2=c^2$, fins positive heltall $k,m,n$ slik at $a=k(m^2-n^2), b=k(2mn), c=k(m^2+n^2)$ (eller at uttrykkene for $a$ og $b$ er byttet om), dermed er arealet gitt ved $A=\frac{ab}{2}=k^2(m^2-n^2)mn\in\mathbb{N}$.

Alternativt (bevis ved motsigelse): Anta at katetene $a,b$ begge er odde, så det fins heltall $m,n$ slik at $a=2n+1,b=2m+1$. Da er $c^2$ like, så $c$ er like, og $c=2k$ for heltall $k$. Fra pytagoras er $a^2+b^2=c^2$, så innsatt fås $(2n+1)^2+(2m+1)^2=(2k)^2$ som er det samme som at $4n^2+4n+1+4m^2+4m+1=4k^2$, som er ekvivalent med at $2\equiv 0\pmod 4$, en motsigelse. Dermed må minst én av katetene være like, og det følger at arealet er heltallig.

[Mattebruker]

[tex]c^{2}[/tex] er like [tex]\Rightarrow[/tex] c er like ( denne implikasjonen er strengt tatt ikkje heilt triviell - må bruke kontrapositiv implikasjon )

"Vanntett" og profesjonell bevisføring !

[jos]

Takk for utfordringer og informative innspill fra Gustav og Mattebruker!
For hva det er verdt; formlene jeg presenterte for generering av pytagoreiske tripler, gjelder tripler hvis største felles faktor = 1, noe jeg signaliserte ved i parantes å kalle triplene primitive.

[Gustav]

Takk for utfordringer og informative innspill fra Gustav og Mattebruker!
For hva det er verdt; formlene jeg presenterte for generering av pytagoreiske tripler, gjelder tripler hvis største felles faktor = 1, noe jeg signaliserte ved i parantes å kalle triplene primitive.

Ja, skjønte det, men da bør det vel strengt tatt også argumenteres for at

primitive pytagoreiske trekanter har heltallig areal $\Rightarrow$ (alle) pytagoreiske trekanter har heltallig areal.

[jos]

Argumentet for at "primitive pytagoreiske trekanter har heltallig areal => (alle) pytagoreiske trekanter har heltallig areal" er vel "intuitivt" som matematikkprofessoren sa etter å ha grunnet på et spørsmål fra en student i forlesningssalen en uke.