oppgave z^2 +2iz-1-i. Finn alle løsningene til ligningene, Hvordan kan du verifisere at du har funnet alle
løsningene?
Jeg tenkt å starte med abc-formelen, men så komme ble jeg usikker med 2iz og i så jeg skjønner ikke helt hvordan jeg kommer frem? Håper å få litt tips?
Kompleks tall
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Hva er likninga? Det mangler likhetstegn i det uttrykket du skrev.
-
Mattebruker
- Weierstrass
- Innlegg: 495
- Registrert: 26/02-2021 21:28
Bruk abc-formelen: z = [tex]\frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}[/tex] ( hugs at i[tex]^{2}[/tex] = - 1 )
-
Mattebruker
- Weierstrass
- Innlegg: 495
- Registrert: 26/02-2021 21:28
Gitt likninga
z[tex]^{2}[/tex] + 2iz - 1 - i = 0
Abc - formelen gir z = -i [tex]\pm[/tex] [tex]\sqrt{i}[/tex]
Finn [tex]\sqrt{i}[/tex] = z[tex]_{1}[/tex]
z[tex]_{1}[/tex][tex]^{2}[/tex] = i = e[tex]^{i(\frac{\pi }{2} + 2k\pi )}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] z[tex]_{1}[/tex] = (e[tex]^{i(\frac{\pi }{2} + 2k\pi )}[/tex])[tex]^{\frac{1}{2}}[/tex] = e[tex]^{i(\frac{\pi }{4} + k\pi )}[/tex]
k = 0 [tex]\rightarrow[/tex] z[tex]_{1}[/tex] = e[tex]^{i\frac{\pi }{4}}[/tex] = cos[tex]\frac{\pi }{4}[/tex] + i sin[tex]\frac{\pi }{4}[/tex]
k = 1 [tex]\rightarrow[/tex] z[tex]_{1}[/tex] = e[tex]^{i\frac{5\pi }{4}}[/tex] =cos[tex]\frac{5\pi }{4}[/tex] + i sin[tex]\frac{5\pi }{4}[/tex]
Den opphavelege likninga får dermed i alt 4 løysingar:
z = -i + e[tex]^{i\frac{\pi }{4}}[/tex] [tex]\vee[/tex] z = -i - e[tex]^{i\frac{\pi }{4}}[/tex] [tex]\vee[/tex] z = -i + e[tex]^{i\frac{5\pi }{4}}[/tex] [tex]\vee[/tex] z = -i - e[tex]^{i\frac{5\pi }{4}}[/tex]
Kan dette stemme ?
z[tex]^{2}[/tex] + 2iz - 1 - i = 0
Abc - formelen gir z = -i [tex]\pm[/tex] [tex]\sqrt{i}[/tex]
Finn [tex]\sqrt{i}[/tex] = z[tex]_{1}[/tex]
z[tex]_{1}[/tex][tex]^{2}[/tex] = i = e[tex]^{i(\frac{\pi }{2} + 2k\pi )}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] z[tex]_{1}[/tex] = (e[tex]^{i(\frac{\pi }{2} + 2k\pi )}[/tex])[tex]^{\frac{1}{2}}[/tex] = e[tex]^{i(\frac{\pi }{4} + k\pi )}[/tex]
k = 0 [tex]\rightarrow[/tex] z[tex]_{1}[/tex] = e[tex]^{i\frac{\pi }{4}}[/tex] = cos[tex]\frac{\pi }{4}[/tex] + i sin[tex]\frac{\pi }{4}[/tex]
k = 1 [tex]\rightarrow[/tex] z[tex]_{1}[/tex] = e[tex]^{i\frac{5\pi }{4}}[/tex] =cos[tex]\frac{5\pi }{4}[/tex] + i sin[tex]\frac{5\pi }{4}[/tex]
Den opphavelege likninga får dermed i alt 4 løysingar:
z = -i + e[tex]^{i\frac{\pi }{4}}[/tex] [tex]\vee[/tex] z = -i - e[tex]^{i\frac{\pi }{4}}[/tex] [tex]\vee[/tex] z = -i + e[tex]^{i\frac{5\pi }{4}}[/tex] [tex]\vee[/tex] z = -i - e[tex]^{i\frac{5\pi }{4}}[/tex]
Kan dette stemme ?
Jeg ser at Tom Lindstrøm i sin lærebok Kalkulus s.131 (3.utg. 3.opplag 2012) foreslår at $\sqrt{z}$ for kompleks $z$ skal være den kvadratroten som har argument i $[0,\pi)$. Man velger altså den kvadratroten som ligger i øvre halvplan. Denne konvensjonen gir bare to løsninger av likningen.
-
Mattebruker
- Weierstrass
- Innlegg: 495
- Registrert: 26/02-2021 21:28
Alle 4 løysingane eg presenterer passar i likninga. Samtidig verkar det litt merkeleg at ei andregradslikning får meir enn 2 løysingar.
Konvensjonen til Lindstrøm skaper orden i systemet. Takk for innspel !
Konvensjonen til Lindstrøm skaper orden i systemet. Takk for innspel !
-
Mattebruker
- Weierstrass
- Innlegg: 495
- Registrert: 26/02-2021 21:28
abc-formelen ( sjå tidlegare innlegg ) refererer til den allmenne andregradslikninga
a z[tex]^{2}[/tex] + b z + c = 0
I klartekst betyr dette at........
a : talfaktor i andregradsleddet ( z[tex]^{2}[/tex] - leddet )
b : talfaktor i z-leddet ( førstegradsleddet )
c : konstantleddet
Tilbake til likninga ( "in question" ):
z[tex]^{2}[/tex] + 2i z - 1 - i = 0
I denne konkrete likninga er a = 1 ( "usynleg talfaktor" ) , b = 2 i ( i: imaginær einheit ) , c = (-1 - i )
Da står det berre att å "plugge inn " desse parametrane i abc-formelen , og forenkle uttrykket.
Lukke til og god fornøyelse !
a z[tex]^{2}[/tex] + b z + c = 0
I klartekst betyr dette at........
a : talfaktor i andregradsleddet ( z[tex]^{2}[/tex] - leddet )
b : talfaktor i z-leddet ( førstegradsleddet )
c : konstantleddet
Tilbake til likninga ( "in question" ):
z[tex]^{2}[/tex] + 2i z - 1 - i = 0
I denne konkrete likninga er a = 1 ( "usynleg talfaktor" ) , b = 2 i ( i: imaginær einheit ) , c = (-1 - i )
Da står det berre att å "plugge inn " desse parametrane i abc-formelen , og forenkle uttrykket.
Lukke til og god fornøyelse !