Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Nå lurer jeg på at funksjonen du har gitt er for glasset i horisontal stilling , ikke sant ?Janhaa skrev: ↑12/12-2021 19:14 Holder på med å finne volumet til ett champagne glass på tilt, dvs som er vippa. Se figur/fil.
Har regna meg fram til at fult glass har volum:
glasset beskrives med funksjonen [tex]y=\sqrt{2x/3}[/tex]
[tex]V=\pi \int_{0}^{6}y^2\, dx=(2/3)\pi \int_0^6\,x\, dx= 12\pi[/tex]
Nå lurer jeg på om volumet for glasset som er vippet er:
[tex]V=8\pi[/tex]
?
Kan det stemme.
Uansett, er d noen som gidder og hjelpe til med integraler/evt trippel-integraler,
For å vise om d stemmer.? Og da evt vise riktig framgangsmåte!
272130B3-D6C9-44A7-AB8B-A60C2A28A64A.jpeg
Hei, og takk for bidraget ditt.SpreVitenskapVidere skrev: ↑14/12-2021 01:03 Har prøvd å komme med noen ideer for å løse men får ikke $8 \pi$ som svar . Lenge siden eg jobbet med sånne integral oppgaver. Kanskje vi bør bruke polarkoordinater.
Ideen min er å transformere koordinatsystemet til og dermed glasset til horisontal stilling.
Vi har funksjonen for uvippet glass er :
$$(1)\quad y_1=\sqrt{\frac{2}{3}x_1}$$
Fra grafen har vi,
\begin{align*}
&x_1 =x\cdot cos(60^{\circ})=x\cdot\frac{1}{2}\Rightarrow x=2\cdot x_1\\
&y_1=y\cdot cos(60^{\circ})=\frac{1}{2}\cdot y\Rightarrow y=2\cdot y_1\\
\end{align*}
Vi setter utrykkene for $x_1$ og $y_1$ i (1) og får funksjonen for vippet glass $y_1$ ,
\begin{align*}
\frac{1}{2}\cdot y =\sqrt{\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot x}\\
y=2\cdot\sqrt{\frac{1}{3}\cdot x}\\
\end{align*}
For å finne den nye volumet må vi finne de nye integrasjonsgrensene,
\begin{align*}
x_1=0\Rightarrow x=2\cdot x_1=0\\
x_1=6\Rightarrow x=2\cdot x_1=2\cdot 6=12\\
V_{Vippet Glass}=\pi \int_{0}^{12}y^2 dx=\pi\int_{0}^{12}4\cdot\frac{1}{3}\cdot xdx\\
=\frac{4\cdot \pi}{3}\int_{0}^{12} x dx=\frac{4\cdot\pi}{3}\cdot \Big[\frac{1}{2} x^2\Big]_{0}^{12}=96\pi
\end{align*}
Takker og bukker for bidraget. Plan og paraboloide. Polare koordinater og trippel-integraler. Smart. Hadde jeg ikke klart sjøl.fish skrev: ↑14/12-2021 11:21 Jeg kom til et resultat svært nær [tex]8\pi[/tex], men ikke eksakt lik. Muligens tungvint det jeg har gjort, men har ikke brukt så mye tid på det.
Det første jeg gjorde var å rette glasset opp, men der jeg tenker meg at sjampanjen er "fryst", slik at væskeoverflaten blir stående på skrå og danner 30 graders vinkel med horisontalen. Jeg legger inn en z-akse der du har x-akse. Overflaten til væsken kan da for eksempel representeres ved
et plan med normalvektor [tex]\vec N=[-1,0,\sqrt{3}][/tex]. Det høyeste punktet som væsken når i denne posisjonen, er [tex](2,0,6)[/tex], som dermed er et punkt i planet. Planlikningen blir altså [tex]-1\cdot(x-2)+\sqrt{3}\cdot(z-6)=0[/tex], slik at [tex]z=6-2/\sqrt{3}+x/\sqrt{3}[/tex]. Med mine valg av koordinater blir likningen for det opprettede glasset [tex]z=(3/2)(x^2+y^2)[/tex]. Hvis vi ser på skjæring mellom plan-likningen og glass-likningen (setter z=z), får vi etter litt omregning
[tex](x-\frac{1}{3\sqrt{3}})^2+y^2=(2-\frac{1}{3\sqrt{3}})^2=\frac{109-12\sqrt{3}}{27}[/tex].
Det ligger dermed an til å benytte polare koordinater for å finne volumet ved trippelintegrasjon:
Sett [tex]x'=x-\frac{1}{3\sqrt{3}}[/tex] og [tex]y'=y[/tex]. Sett så [tex]x'=r\cos\theta[/tex] og [tex]y'=r\sin\theta[/tex]. Den nedre grenseflaten (glasset) kan da uttrykkes ved [tex]z=z_1=(3/2)r^2+(1/\sqrt{3})r\cos\theta+1/18[/tex], mens den øvre får uttrykket [tex]z=z_2=(55-6\sqrt{3})/9+(1/\sqrt{3})r\cos\theta[/tex].
Volumet fremkommer derfor ved trippelintegralet
[tex]V=\int\limits_0^{2\pi}\int_0^{2-\frac{1}{3\sqrt{3}}}\int_{z_1}^{z_2}rdzdrd\theta=\pi\cdot\frac{12313-2616\sqrt{3}}{972}\approx 8.006\pi [/tex].
Jeg må ta alle mulige forbehold om feil.
Skal sjekke hva har jeg mistet eller ikke tatt hensyn til for å ha fått et ulogisk svarJanhaa skrev: ↑14/12-2021 15:12Hei, og takk for bidraget ditt.SpreVitenskapVidere skrev: ↑14/12-2021 01:03 Har prøvd å komme med noen ideer for å løse men får ikke $8 \pi$ som svar . Lenge siden eg jobbet med sånne integral oppgaver. Kanskje vi bør bruke polarkoordinater.
Ideen min er å transformere koordinatsystemet til og dermed glasset til horisontal stilling.
Vi har funksjonen for uvippet glass er :
$$(1)\quad y_1=\sqrt{\frac{2}{3}x_1}$$
Fra grafen har vi,
\begin{align*}
&x_1 =x\cdot cos(60^{\circ})=x\cdot\frac{1}{2}\Rightarrow x=2\cdot x_1\\
&y_1=y\cdot cos(60^{\circ})=\frac{1}{2}\cdot y\Rightarrow y=2\cdot y_1\\
\end{align*}
Vi setter utrykkene for $x_1$ og $y_1$ i (1) og får funksjonen for vippet glass $y_1$ ,
\begin{align*}
\frac{1}{2}\cdot y =\sqrt{\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot x}\\
y=2\cdot\sqrt{\frac{1}{3}\cdot x}\\
\end{align*}
For å finne den nye volumet må vi finne de nye integrasjonsgrensene,
\begin{align*}
x_1=0\Rightarrow x=2\cdot x_1=0\\
x_1=6\Rightarrow x=2\cdot x_1=2\cdot 6=12\\
V_{Vippet Glass}=\pi \int_{0}^{12}y^2 dx=\pi\int_{0}^{12}4\cdot\frac{1}{3}\cdot xdx\\
=\frac{4\cdot \pi}{3}\int_{0}^{12} x dx=\frac{4\cdot\pi}{3}\cdot \Big[\frac{1}{2} x^2\Big]_{0}^{12}=96\pi
\end{align*}
Har ikke lagd oppg sjøl. Fant den og prøvde sjøl. Utregning av fult volum var lett. Imidlertid ble d problematisk når glasset var vippet.
Men jeg fant ut at V(vippa glass) ca = 8pi.
Så 1,5pi er i minste laget.
Ops, du redigerte og fikk 96pi på vippa glass. Jeg vet at V(fult glass)= 12pi = V1
Så V(champagne)=V(vippa glass) = V2 < V1
96pi er altfor mye.
Edit
. Må sjekke litt om koordinat transformer .Ideen min var å flytte koordinatene til vanlig koordinatsystem og da grafen til horisontal så kan vi rotere den rundt x-aksen og få glasset så kan vi regne volumet som $V=\pi \int_{a}^{b}( f(x))^2 dx$ men det er noe som jeg ikke tar hensyn til her. Sikkert bedre med trippel integral men det burde funket på den metoden eg kom med.Gustav skrev: ↑14/12-2021 19:11 Min løsning med trippelintegral uten polarkoordinater er som følger: (Ble noen stygge uttrykk så jeg har avrunda litt, men ser ut som jeg får det samme som fish.)
I 3-dimensjoner er radien $r$ til glasset som funksjon av $x$ gitt ved $r(x)=\sqrt{\frac{2x}{3}}$. Glasset tilfredsstiller da $y^2+z^2=r^2=\frac{2x}{3}$, så $z^2=\frac{2x}{3}-y^2$.
Overflaten til sprudlevannet er gitt av $\vec{n}\cdot ((x,y)-(6,-2))=0$, der $\vec{n}=(\cos 30, \sin 30)$ er enhetsnormalvektoren til planet, så $ \cos 30 (x-6)+\sin 30 (y+2)=0$, $y=-\sqrt{3}x+2(3\sqrt{3}-1)$. For å finne den nedre integrasjonsgrensen til dx må vi løse $-\sqrt{3}x+2(3\sqrt{3}-1)=\sqrt{\frac{2x}{3}}$, så $x = 1/9 (55 - 6 \sqrt{3} - \sqrt{109 - 12 \sqrt{3}})\approx 3.9128$.
Vi finner så volumet av glasset som ikke er fylt med sprudlevann: $V_0=\int_{1/9 (55 - 6 \sqrt{3} - \sqrt{109 - 12 \sqrt{3}})}^6 \int_{-\sqrt{3}x+2(3\sqrt{3}-1)}^{\sqrt{\frac{2x}{3}}} \int_{-\sqrt{\frac{2x}{3}-y^2}}^{\sqrt{\frac{2x}{3}-y^2}} dzdydx=\int_{1/9 (55 - 6 \sqrt{3} - \sqrt{109 - 12 \sqrt{3}})}^6 \int_{-\sqrt{3}x+2(3\sqrt{3}-1)}^{\sqrt{\frac{2x}{3}}} 2\sqrt{\frac{2x}{3}-y^2}dydx\approx 12.5471$.
Volumet av sprudlevannet blir til slutt $12\pi-V_0\approx 25.152\approx 8.006\pi$.
PS: Tror problemet med spreVitenskapVidere sin løsning er at den antar at tverrsnittene er disk-formet. Det hjelper ikke med koordinattransformasjoner da volumet av sprudlevannet uansett ikke vil bli symmetrisk nok til at integrasjonsgrensene forenkles betydelig.
Tusen takk for bidraget Gustav.Gustav skrev: ↑14/12-2021 19:11 Min løsning med trippelintegral uten polarkoordinater er som følger: (Ble noen stygge uttrykk så jeg har avrunda litt, men ser ut som jeg får det samme som fish.)
I 3-dimensjoner er radien $r$ til glasset som funksjon av $x$ gitt ved $r(x)=\sqrt{\frac{2x}{3}}$. Glasset tilfredsstiller da $y^2+z^2=r^2=\frac{2x}{3}$, så $z^2=\frac{2x}{3}-y^2$.
Overflaten til sprudlevannet er gitt av $\vec{n}\cdot ((x,y)-(6,-2))=0$, der $\vec{n}=(\cos 30, \sin 30)$ er enhetsnormalvektoren til planet, så $ \cos 30 (x-6)+\sin 30 (y+2)=0$, $y=-\sqrt{3}x+2(3\sqrt{3}-1)$. For å finne den nedre integrasjonsgrensen til dx må vi løse $-\sqrt{3}x+2(3\sqrt{3}-1)=\sqrt{\frac{2x}{3}}$, så $x = 1/9 (55 - 6 \sqrt{3} - \sqrt{109 - 12 \sqrt{3}})\approx 3.9128$.
Vi finner så volumet av glasset som ikke er fylt med sprudlevann: $V_0=\int_{1/9 (55 - 6 \sqrt{3} - \sqrt{109 - 12 \sqrt{3}})}^6 \int_{-\sqrt{3}x+2(3\sqrt{3}-1)}^{\sqrt{\frac{2x}{3}}} \int_{-\sqrt{\frac{2x}{3}-y^2}}^{\sqrt{\frac{2x}{3}-y^2}} dzdydx=\int_{1/9 (55 - 6 \sqrt{3} - \sqrt{109 - 12 \sqrt{3}})}^6 \int_{-\sqrt{3}x+2(3\sqrt{3}-1)}^{\sqrt{\frac{2x}{3}}} 2\sqrt{\frac{2x}{3}-y^2}dydx\approx 12.5471$.
Volumet av sprudlevannet blir til slutt $12\pi-V_0\approx 25.152\approx 8.006\pi$.
PS: Tror problemet med spreVitenskapVidere sin løsning er at den antar at tverrsnittene er disk-formet. Det hjelper ikke med koordinattransformasjoner da volumet av sprudlevannet uansett ikke vil bli symmetrisk nok til at integrasjonsgrensene forenkles betydelig.
Nå er jo ikke skjæringskurven mellom et plan og en paraboloide en ellipse, så det funker ikke
