kontinuerlig funksjon?

[00990]

Hei.

kan noen hjelpe med denne oppg "forklar at følgende funksjon dermed er kontinuerlig for alle x element i R.

Funksjon med delt forskrift:
g(X) = { sin x/x , x ulik fra 0
1 , x = 0

{ skal stå foran begge, men fikk i det til her.

[Aleks855]

Vis at grenseverdien fra høyre og venstre side går mot samme verdi som er satt inn (altså 1).

Vis gjerne litt hva du har tenkt prøvd også hvis du står fast og trenger mer hjelp. Å bare copy/paste oppgaver er ikke så givende i det lange løp.

[Kristian Saug]

Hei,

Kan også bruke L'Hopital.

Tex-editor virker ikke, så da blir det slik:

f(x) = sin(x) / x

setter

g(x) = sin(x) og
h(x) = x

j(x) = g'(x) / h'(x) = cos(x) / 1 = cos(x)

j(0) = cos(0) = 1

Dermed bevist.


Se vedlegg for visualisering.

[00990]

Riktig. Jeg er med på l`hopitals regel og forstår at grenseverdien går mot 1.

Eneste jeg lurer på er hvordan jeg vet at funksjonen er kontinuerlig for alle x € R?
Er det en måte å se at den vil være kontinuerlig ?

[Kristian Saug]

Ja,

Telleren, sin(x) er en kontinuerlig funksjon for alle x element i R (beklager, med Tex-editor fungerer ikke)
Likeså er nevneren, x.

Eneste "problemet" er når x = 0, for da får funksjonuttrykket en udefinert verdi.

Men siden det er en delt funksjon, der det oppgis at f(x) = 1 for x = 0, må det være en kontinuerlig funksjon for alle x element i R. Siden L'Hopitals regel også viser at f(x) går mot 1 når x går mot 0.

[Aleks855]

Siden $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ er en komposisjon av to kontinuerlige funksjoner, så er $f$ også kontinuerlig, så lenge $x \neq 0$.