Matematikk 2 - Skjæring mellom flater

[forvirret-student]

Hei, jeg trenger hjelp til en oppgave fra matematikk 2

https://imma.gr/86337x2c5c4

Har satt z-ligningene lik hverandre, og fått ligningen til en sirkel med senter (1/2, 1) og radius 3/2, slik at sluttsvaret ble z=2-(3/2*cos(@) +1/2)^2 - (3/2*sin(@) + 1)

men tror ikke dette er riktig? og det er vel ikke en parametrisering?

[Emilga]

Når vi setter de to paraboloidene like hverandre, ender vi opp med sirkellikningen

[tex]\left( \frac 32 \right)^2 = (x-\frac 12)^2 + (y - 1)^2[/tex]

Som altså er en sirkel med sentrum i $(\frac 12, 1)$ og radius $r=\frac 32$.

Når vi projiserer denne ned på xy-planet, settes z-koordinaten automatisk til null. Altså må vi uttrykke de to resterende koordinatene x og y med en fritt valgt parameter $\theta$. Altså:
$$ \cases{ x = r \cos \theta + \frac 12 \\ y = r \sin \theta + 1} ,\, \theta \in [0, 2\pi) $$


EDIT: Byttet om sin og cos! Takk til Josi.

[Kristian Saug]

Ja,

Projeksjonen av skjæringskurven ned i xy planet blir et kjeglesnitt, en sirkel med S(1/2, 1) og r = 3/2. Så det gir svar på siste spørsmålet.

MEN, hva blir svaret på det første spørsmålet; en parametrisering av skjæringskurven mellom de to flatene? Den skal ikke projiseres ned i xy-planet.

[josi]

Skal det ikke stå $ x = rcos\theta + \frac12\\ y = rsin\theta +1$

[Emilga]

Kristian, for skjæringskurven uten projeksjon får vi:

$$ \cases{ x = r \cos \theta + \frac 12 \\ y = r \sin \theta + 1 \\ z = 2 - (r \cos \theta + \frac 12)^2 - (r \sin \theta + 1)^2} ,\, \theta \in [0, 2\pi) $$

[Kristian Saug]

Javisst! Takk Emilga.

Jeg legger til en visualisering, så kan studenten se flatene og skjæringslinja (en ellipse).