Lineærtransformasjon av polynomer (kjerne og bilde)

[Skanin]

Hei, jeg er helt stuck på en oppgave.

Tror jeg har fått til a):
Viser at [tex]D[/tex] er en lineærtransformasjon
[tex]\begin{align*} &D(p + \hat{p}) = (p + \hat{p})' = p' + \hat{p}' \\ &D(p) + D(\hat{p}) = p' + \hat{p}' \\ \\ &D(cp) = (cp)' = cp' \\ &cD(p) = cp' \end{align*}[/tex]

Viser at [tex]G[/tex] er en lineærtransformasjon:
[tex]\begin{align*} &G(p+\hat{p}) = x(p(x) + \hat{p}(x)) = q \\ &G(p) + G(\hat{p}) = x(p(x)) + x(\hat{p}(x)) = x(p(x) + \hat{p}(x)) = q \\ \\ &cG(p) = cq = cxp(x) \\ &G(cp) = cxp(x) \end{align*}[/tex]

Men har virkelig ikke peiling på hvordan jeg skal angripe b). Noen som kan hjelpe meg på vei? Min første tanke er å finne en standardmatrise, slik at jeg kan finne kolonnerom og nullrom, men skjønner ikke hvordan jeg gjør det når jeg ikke har matriser som input. Vanligvis ville jeg jo satt inn enhetsvektorene som input og brukt output som kolonner i standardmatrisen, men det funker vel dårlig med polynomer?

[Gustav]

b) Her vil fremgangsmåten bestå i at man må tenke på hvordan polynomene avbildes av D og G.

Kjernen til D er mengden av alle konstante polynomer. Bildet til D er hele $\mathcal{P}$.

[Skanin]

b) Her vil fremgangsmåten bestå i at man må tenke på hvordan polynomene avbildes av D og G.

Kjernen til D er mengden av alle konstante polynomer. Bildet til D er hele $\mathcal{P}$.

Med konstante polynomer, tenker du da på f.eks $c_1 + c_2 + c_3$ siden dette derivert blir $0$? Og fant du at bildet til $D$ er hele $\mathcal{P}$ fordi vi kan få alle mulige polynomer ved å bruke $D$?

[Gustav]

Med konstante polynomer, tenker du da på f.eks $c_1 + c_2 + c_3$ siden dette derivert blir $0$? Og fant du at bildet til $D$ er hele $\mathcal{P}$ fordi vi kan få alle mulige polynomer ved å bruke $D$?

Ja, det stemmer. Mer detaljert bevis ved motsigelse: Anta det fins et polynom $p(x)$ som er med i kjernen til D, men som ikke er konstant. Da kan vi skrive $p(x)=a_nx^n+q(x)$ der $q(x)$ er et polynom av orden $<n$, $a_n\neq 0$ og $n>0$. Da blir $D(p)=na_nx^{n-1}+r(x)$ der $r(x)$ har orden $< n-1$. For at dette skal bli identisk lik 0 må $a_n=0$ (siden $\{x^k: k\in \mathbb{N}\}$ er lineært uavhengig i $\mathbb{R}[x]$), noe som er en motsigelse.

La $q(x)=\sum_{k=0}^n a_k x^k$ være et vilkårlig polynom i $\mathcal{P}$. Da er $D (\sum_{k=0}^n \frac{a_k}{k+1} x^{k+1}) = q(x)$ så for ethvert element i kodomenet fins et element i domenet som avbildes til dette. Dermed er bildet til $D$ hele $\mathcal{P}$.

Edit: Det var en feil i det opprinnelige svaret der det ble brukt inversen til D, men denne eksisterer ikke da D ikke er injektiv.