Absolutt konvergens

[SAGB1997]

Hei, et eksempel i Calculus boken hvor mellomregningene ikke er tatt med og får det ikke til selv (det stopper ganske raskt). Teorien går greit, men bare den steg-for-steg utregningen jeg hadde satt veldig pris på om noen kunne gjort

[tex]\sum_{n=1}^{\infty }(\frac{ncos(n\pi )}{2^n})[/tex]

Oppgaven er å teste for absolutt konvergens og de bruker forholdstesten.

(så skal egt være absolutt tegn rundt uttrykket innenfor lim, men fikk ikke det til.

[tex]\rho =\lim_{n \to \infty }(\frac{(n+1)cos((n+1)\pi )}{2^{n+1}}/\frac{ncos(n\pi )}{2^n})[/tex]

[jakvah]

Observer at $\cos(n\pi) = (-1)^n$, når n er heltall (noe n er, ettersom det er n ledd i rekken). Det betyr at både $\cos(n\pi)$ og $\cos((n+1)\pi)$ vil variere mellom -1 og 1. Ettersom vi i forholdstesten skal ta absoluttverdien av termene, blir disse alltid 1, og vi kan dermed se bort fra dem.

Lar $a_n = \frac{n\cos(n\pi)}{2^n}$. Forholdstesten $|\frac{a_{n+1}}{a_n}|$ gir da:

$|\frac{\frac{(n+1)\cos((n+1)\pi)}{2^{n+1}}} {\frac{n\cos(n\pi)}{2^n}}| = |\frac{(n+1)\cos((n+1)\pi)2^n}{n2^{n+1} \cos(n\pi)}|$.

Bruker så som nevt at cosinus termene blir 1, samt at $\frac{2^n}{2^{n+1}} = \frac{1}{2}$ og får:

$\frac{(n+1)}{2n}$.

Når n blir vedlig stor (går mot uendelig) blir $n+1 \approx n$. Får dermed

$\lim_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}| = \frac{1}{2}$.

[SAGB1997]

Tuuuuusen takk! Perfekt