Hvordan bevise at to periferivinkler er like store?

[OleA]

Hei!

Vi er noen mattestudenter som sitter med en innleveringsoppgave om periferivinkler. Vi er innforståtte med forholdet mellom periferi- og sentralvinkel og Thales' setning. Imidlertid strever vi med bevis for at to periferivinkler som spenner over samme sirkelbue, er like store. Er det noen som kan veilede oss litt? Takker!

[DennisChristensen]

Hei!

Vi er noen mattestudenter som sitter med en innleveringsoppgave om periferivinkler. Vi er innforståtte med forholdet mellom periferi- og sentralvinkel og Thales' setning. Imidlertid strever vi med bevis for at to periferivinkler som spenner over samme sirkelbue, er like store. Er det noen som kan veilede oss litt? Takker!

Vi deler opp trekanten dannet av sentralvinkelen $\theta$ og dens periferivinkel. Se figuren. Her har vi brukt at hver liten trekant vil være likebeint. Nå, vinkelsummen i trekantene $\triangle SXY$ og $\triangle XYZ$ er $180$, så $2a + \theta = 180 = 2a + 2b + 2c$. Dette viser at $b+c = \theta/2$, uavhengig av hvilken periferivinkel vi velger (såfremt $S$ ligger inni trekanten $\triangle XYZ$).