Hjelp med invers Laplace transformasjon

[Kwerty]

Hei,

har følgende uttrykk:

[tex]\frac{3}{(s+2)^2+1^2}[/tex]

som jeg vil gjøre om til et funksjonsuttrykk ved bruk av Laplace. Antar jeg må bruke såkalt "s-skift", altså at

[tex]L(e^{at}f(t)) = F(s-a)[/tex]

også har jeg identiteten, som ligner en del på uttrykket jeg har.

[tex]L(sint) = \frac{a}{s^2+a^2}[/tex]

Men jeg ser ikke helt hvordan dette skal gjøres her. Noen som kan hjelpe?

[DennisChristensen]

$$\frac3{(s+2)^2 + 1^2} = 3\frac1{(s+2)^2 + 1^2} = 3\mathcal{L}\{\sin t\}(s+2) = 3\mathcal{L}\{e^{-2t}\sin t\}(s) = \mathcal{L}\{3e^{-2t}\sin t\}(s).$$

[Kwerty]

Takk, kan du forklare hvordan du gikk frem? Brukte du de sammenhengene jeg hadde listet opp?

[Markus]

Takk, kan du forklare hvordan du gikk frem? Brukte du de sammenhengene jeg hadde listet opp?

Yes, det var akkurat det han gjorde. $s$-skifting som du kaller det gir oss at $$\mathcal{L}\{e^{at}\sin(\omega t)\} = \mathcal{L}\{\sin(\omega t)\}(s-a) = \frac{\omega}{(s-a)^2+\omega^2}$$ så ved å ta den inverse Laplace transformasjonen på begge sider så sees at $$e^{at}\sin(\omega t) = \mathcal{L}^{-1}\left \{ \frac{\omega}{(s-a)^2+\omega^2} \right \}$$ I ditt tilfelle er jo $\omega = 1$ og $a=-2$. Ser du resten av veien (og hvorfor det blir sånn) selv?

[Kwerty]

Ja, er med nå. Takk for hjelpen!