Rotasjon/transformasjon matrise

[rotasjooon]

Hei, har følgende oppgave:



Jeg satt så opp standarmatrisa slik:


Deretter er neste oppgave å finne standardmatrisa til lineærtransofmrasjonen osm først roterer vektoeren med 45* og deretter strekkresultatet ved U (som jeg fant først).

Her er svaret (fasit) på bare rotasjonen i seg selv:


Hvorfor blir det -[tex]-\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] på høyre siden, øverste rad? Hva bestemmer det?
Og hvorfor fungerer ikke det på samme måte som med den første oppgaven hvor jeg skulle finne standarmatrisa?

Der fikk jeg [tex]\frac{5}{0}\frac{0}{3}[/tex] pga. [tex]\frac{1}{0}\frac{0}{1}[/tex]
Fungerer det ikke slik på rotasjon også? F.eks
[tex]\frac{cos}{0}\frac{0}{sin}[/tex]?

Noen som kan forklare dette på en enkel måte, og hvordan man skal tenke? Hvorfor blir det - i denne oppgaven på øverste-høyre rad i rotasjonen? Hvorfor skal man ikke bruke [tex]\frac{1}{0}\frac{0}{1}[/tex] her? Mtp. cos og sin.

[DennisChristensen]

Hei, har følgende oppgave:



Jeg satt så opp standarmatrisa slik:


Deretter er neste oppgave å finne standardmatrisa til lineærtransofmrasjonen osm først roterer vektoeren med 45* og deretter strekkresultatet ved U (som jeg fant først).

Her er svaret (fasit) på bare rotasjonen i seg selv:


Hvorfor blir det -[tex]-\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] på høyre siden, øverste rad? Hva bestemmer det?
Og hvorfor fungerer ikke det på samme måte som med den første oppgaven hvor jeg skulle finne standarmatrisa?

Der fikk jeg [tex]\frac{5}{0}\frac{0}{3}[/tex] pga. [tex]\frac{1}{0}\frac{0}{1}[/tex]
Fungerer det ikke slik på rotasjon også? F.eks
[tex]\frac{cos}{0}\frac{0}{sin}[/tex]?

Noen som kan forklare dette på en enkel måte, og hvordan man skal tenke? Hvorfor blir det - i denne oppgaven på øverste-høyre rad i rotasjonen? Hvorfor skal man ikke bruke [tex]\frac{1}{0}\frac{0}{1}[/tex] her? Mtp. cos og sin.

Vi starter med en vektor $(x,y)\in\mathbb{R}^2$, og ønsker å undersøke hvilken vektor vi får når vi roterer denne med $\frac{\pi}{4}$ om origo. La $\theta$ være det originale argumentet til $(x,y)$ og la $r = |(x,y)| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Da har vi at $x = r\cos\theta$ og $y = r\sin\theta$. La $(x',y')$ være koordinatene til vektoren etter rotasjonen er gjennomført. Da får vi at
$$x' = r\cos(\theta + \frac{\pi}{4}) = r\cos\theta\cos\frac{\pi}{4} - r\sin\theta\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\left(r\cos\theta - r\sin\theta\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\left(x-y\right),$$
$$y' = r\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = r\sin\theta\cos\frac{\pi}{4} + r\cos\theta\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\left(r\sin\theta + r\cos\theta\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\left(x+y\right).$$

Dermed får vi standardmatrisen $$\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}.$$

Merk deg at denne fremgangsmåten enkelt lar seg generalisere til rotasjon med en hvilken som helst vinkel, ikke bare i tilfellet $\frac{\pi}{4}.$

[rooootasjon]

Så er dette en standard for ALL ROTASJON av vinkler med matriser?


Så med en gang jeg blir bedt om å rotere en matrise mot klokken, så er det denne jeg skal ta utgangspunkt i? Eller er det kun for denne oppgaven da det blir oppgitt som standardmatrise?

[sbra]

For å svare på spørsmålet ditt: Ja, den matrisen er standard for rotasjoner i planet, [tex]\mathbb{R}^2[/tex].

La oss betrakte alle lineære transformasjoner i euklidsk rom, [tex]\mathbb{R}^n[/tex], som bevarer lengdene av alle vektorene, samt vinklene parvis mellom dem.

I [tex]\mathbb{R}^n[/tex] kan man definere både lengder og vinkler via et standard indreprodukt.
Lengde kan skrives som [tex]||x|| = \sqrt{x \cdot x}[/tex], [tex]x \in \mathbb{R}^n[/tex], og man definerer vinkler mellom to vektorer [tex]x,y \in \mathbb{R}^n[/tex] som [tex]cos(\theta) = \frac{x \cdot y}{||x||||y||}[/tex].

Transformasjoner som bevarer lengder og vinkler bevarer derfor indreproduktet.

Skriver fra nå av standard indreprodukt [tex]x \cdot x[/tex] som [tex]x^T x[/tex].

La oss kalle en slik transformasjon [tex]A[/tex]. Vi har da at [tex]x^T y = (Ax)^T (Ay) = x^T A^T A y[/tex]. For at disse alltid skal være like må [tex]A^T A = I[/tex], identitetsmatrisen.

Matriser som oppfyller dette kriteriet kalles ortogonale matriser, og alle disse matrisene utgjør en gruppe kalt den ortogonale gruppen av orden n, [tex]O(n, \mathbb{R})[/tex].

To egenskaper ved determinanten er:
[tex]det(AB) = det(A)\cdotp det(B)[/tex]
[tex]det A^T = det A[/tex]

Ut fra dette kan vi se at ortogonale matriser må ha determinant lik pluss eller minus 1:
[tex]\det(A^T A) = \det A^T \cdot \det A = \det I = 1[/tex]. Siden [tex]\det A = \det A^T[/tex] så følger det at [tex]\det A = \pm 1[/tex].

La oss nå begrense oss til planet, [tex]\mathbb{R}^2[/tex].

Slike matriser kan generelt skrives som, [tex]A = \begin{bmatrix} a & c \\ d & b \end{bmatrix}[/tex].
[tex]A^T A[/tex] blir da [tex]A^T A = \begin{bmatrix} a^2+c^2 & bc+ad \\ bc+ad & b^2+d^2 \end{bmatrix} = I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}[/tex]

Ut fra dette kan vi se at de ortogonale matrisene i [tex]\mathbb{R}^2[/tex] må oppfylle disse fire begrensningene:
[tex]a^2 + c^2 = 1[/tex]
[tex]b^2 + d^2 = 1[/tex]
[tex]bc + ad = 0[/tex]
[tex]ab - cd = \pm 1[/tex]

De tre første finner vi ved sammenligning av identitetsmatrisen og resultatet vi fikk for [tex]A^T A[/tex]. Den siste får vi fordi [tex]ab - cd[/tex] er determinanten til A, og den må være [tex]\pm 1[/tex]

Vi tar for oss tilfellet der determinanten er 1. Slike ortogonale matriser med determinant 1 utgjør en undergruppe av [tex]O(n)[/tex], som for øvrig kalles [tex]SO(n)[/tex], den spesielle ortogonale gruppen av orden n.

Løsningene vi finner for dette ligningssettet er:
[tex]b=a[/tex], [tex]c = \mp \sqrt{1-a^2}[/tex], [tex]d = \pm \sqrt{1-a^2}[/tex]

Vi ser at de andre parametrene kun er avhengig av a. Det er altså ett parameter som bestemmer hele matrisen. Med litt trigonometrisk intuisjon så ser vi kanskje også at dette må være [tex]cos(\theta)[/tex]. Vi har da at [tex]a = b = cos(\theta)[/tex], [tex]c = \mp \sqrt{(1-\cos(\theta)^2)} = \mp \sin(\theta)[/tex] og [tex]d = \pm \sqrt{1-\cos(\theta)^2} = \pm \sin(\theta)[/tex]

Matrisene i [tex]SO(2)[/tex] er altså rotasjonsmatrisene i to dimensjoner. Disse har determinant 1. Klarer du å finne ut hvilken form matrisene med determinant -1 har, og hva som skjer når disse opererer på vektorene i [tex]\mathbb{R}^2[/tex]?