Relasjoner og funksjoner (transitivitet o.l.)

[Transitiv]

Hei, lurer på om noen kunne oppklare et par tre ting for meg. Kapittelet handler om relasjoner og funksjoner, diskret matte.

Første oppgave:
Vi har relasjoner i AxB = AxA =[tex]A^2[/tex] (ergo er A = B), hvor mengden A [tex]\subset[/tex] [tex]\mathbb{N}[/tex]
er A = {1, 2, 3}. Jeg skal avgjøre hvorvidt denne er transitiv eller ikke. Hvordan går jeg frem? Må transitiviteten gjelde for ABSOLUTT alle x verdier?

Transitiv hvis: { (x,y) | x [tex]\leq[/tex] y } ?

A x A blir jo (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3) - korrekt, eller har jeg misforstått helt?
Verdiene ovenfor skal tolkes som (x, y), stemmer det?

Transitivitet handler om hvis x er mindre eller lik y, og y er mindre eller lik z, så er x mindre eller like z. Hva skal man plassere inn som z i dette tilfellet. Hvor kommer den fra? Hvorfor er denne oppgaven transitiv?

Andre oppgave:


Jeg skjønner ikke hvordan relasjonen er oppgitt? Klarer å finne ut hvorvidt de er symmetrisk eller refleksiv, men hvordan finne ut transitiv uten å vite hva relasjonen er? Altså eksempelvis likhetstegn, mindre enn, større enn osv. Klarer ikke helt å se hvordan man skal gå frem for å kunne svare på om den er transitiv eller ikke.

Tredje oppgave:

Hvordan tolker man denne oppgaven? Altså injektiv og surjektiv trenger jeg ikke hjelp med å forstå, men det som er innenfor { }, hvordan setter man opp dette?

Mye som ikke gir mening her for min del, hadde satt pris på om noen kunne forklart Og nei, har ingen bok som sier hvordan man skal gå frem. Googlet, men det gir ikke nok mening for mitt hode ihvertfall :/

[Kake med tau]

Hei, lurer på om noen kunne oppklare et par tre ting for meg. Kapittelet handler om relasjoner og funksjoner, diskret matte.

Tredje oppgave:

Hvordan tolker man denne oppgaven? Altså injektiv og surjektiv trenger jeg ikke hjelp med å forstå, men det som er innenfor { }, hvordan setter man opp dette?

Mye som ikke gir mening her for min del, hadde satt pris på om noen kunne forklart Og nei, har ingen bok som sier hvordan man skal gå frem. Googlet, men det gir ikke nok mening for mitt hode ihvertfall :/

Hvis [tex]p[/tex] er et primtall så er [tex]f(p)=p^2[/tex]. Hvis [tex]n[/tex] ikke er et primtall så er [tex]f(n)=n[/tex].

Er den injektiv? Hvis [tex]f(x)=f(y)[/tex] tvinger oss til å ha [tex]x=y[/tex] så er [tex]f[/tex] injektiv.
Siden [tex]f(3)=3^2=9=f(9)[/tex], men [tex]3\neq 9[/tex] så er funksjonen ikke injektiv. (Mer generelt [tex]f(p)=p^2=f(p^2)[/tex], men [tex]p^2\neq p[/tex])

Er den surjektiv? Funksjonen [tex]f[/tex] spytter uten enten [tex]p^2[/tex] eller [tex]n[/tex] (hvor [tex]n[/tex] ikke er et primtall). Men vi får aldri ut [tex]p[/tex]. Så [tex]f[/tex] er heller ikke surjektiv.

[DennisChristensen]

Hei, lurer på om noen kunne oppklare et par tre ting for meg. Kapittelet handler om relasjoner og funksjoner, diskret matte.

Første oppgave:
Vi har relasjoner i AxB = AxA =[tex]A^2[/tex] (ergo er A = B), hvor mengden A [tex]\subset[/tex] [tex]\mathbb{N}[/tex]
er A = {1, 2, 3}. Jeg skal avgjøre hvorvidt denne er transitiv eller ikke. Hvordan går jeg frem? Må transitiviteten gjelde for ABSOLUTT alle x verdier?

Transitiv hvis: { (x,y) | x [tex]\leq[/tex] y } ?

A x A blir jo (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3) - korrekt, eller har jeg misforstått helt?
Verdiene ovenfor skal tolkes som (x, y), stemmer det?

Transitivitet handler om hvis x er mindre eller lik y, og y er mindre eller lik z, så er x mindre eller like z. Hva skal man plassere inn som z i dette tilfellet. Hvor kommer den fra? Hvorfor er denne oppgaven transitiv?

Andre oppgave:


Jeg skjønner ikke hvordan relasjonen er oppgitt? Klarer å finne ut hvorvidt de er symmetrisk eller refleksiv, men hvordan finne ut transitiv uten å vite hva relasjonen er? Altså eksempelvis likhetstegn, mindre enn, større enn osv. Klarer ikke helt å se hvordan man skal gå frem for å kunne svare på om den er transitiv eller ikke.

Tredje oppgave:

Hvordan tolker man denne oppgaven? Altså injektiv og surjektiv trenger jeg ikke hjelp med å forstå, men det som er innenfor { }, hvordan setter man opp dette?

Mye som ikke gir mening her for min del, hadde satt pris på om noen kunne forklart Og nei, har ingen bok som sier hvordan man skal gå frem. Googlet, men det gir ikke nok mening for mitt hode ihvertfall :/

Oppgave 1 er uklart gjengitt. Det virker som du har glemt å oppgi definisjonen til relasjonen. Er det ment at hele $A^2$ er relasjonen?

Oppgave 2:
(a) En relasjon $\mathcal{R}\subseteq A^2$ er refleksiv hvis og bare hvis $(x,x) \in \mathcal{R}$ for alle $x \in A$. Ettersom $(1,1), (2,2), (3,3), (4,4) \in \mathcal{R}$, er relasjonen refleksiv.

Ved inspeksjon ser vi at for alle $(x,y) \in\mathcal{R}$ har vi at $(y,x)\in\mathcal{R}$, så $\mathcal{R}$ er symmetrisk.

(b) Fra de fire første elementene i $\mathcal{R}$ ser vi at $\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\} \subseteq \mathcal{R}^2$. Ettersom $\mathcal{R}$ er refleksiv følger det også at de siste elementene fra $\mathcal{R}$ er elementer i $\mathcal{R}^2$, altså at $\{(1,3), (3,1),(2,4),(4,2)\}\subseteq \mathcal{R}^2$. Vi har brukt opp alle kombinasjoner av elementer i $\mathcal{R}$, så $\mathcal{R}^2 = \mathcal{R}$. Dermed blir også listeformen til $\mathcal{R}^2$ den samme som for $\mathcal{R}$.

(c) Ved inspeksjon ser vi at for alle $x,y,z \in A$ gjelder det at $(x,y) \in \mathcal{R}, (y,z)\in\mathcal{R} \implies (x,z)\in\mathcal{R}$, så $\mathcal{R}$ er transitiv. $\mathcal{R}$ er refleksiv $+$ symmetrisk $+$ transitiv, så $\mathcal{R}$ er en ekvivalensrelasjon.