Hei, jeg har et par spørsmål i forhold til en oppgave i boken mathema 2 (oppg 11.2.15).
Oppgaveteksten:
Finn transformasjonsmatrisen uttrykt i homogene koordinater for hver av følgende transformasjoner T fra R^2 til R^2, dvs. En 3x3 - matrise.
Jeg lurer på, er det mulig å bruke en 3x3 transformasjonsmatrise for å transformere vektorer i R^2 rommet, eller er dette en trykkfeil?
I b) skal man f.eks hvert punkt -2 enheter i x1-retning og -3 i x2-retning.
Svaret i denne oppgaven blir:
|1 0 -2|
|0 1 -3|
|0 0 1|
Spørsmål ang lineær transformasjon
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Hei!
Det er riktig at man ikke kan representere en transformasjon [tex]T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2[/tex] med en 3x3-matrise.
For at matrisemultiplikasjon skal være definert så må det være like mange kolonner i den første matrisen som rader i den andre. Det er derfor ikke gyldig å multiplisere en 3x3-matrise med en 2x1-matrise (kolonnevektor).
Skjønt man kan jo alltids tenke seg at 2x1-vektoren lever i et plan i et 3-dimensjonelt rom, og dermed utvide den til en 3x1-vektor.
Siden du nevner homogene koordinater så mistenker jeg heller at det menes en transformasjon [tex]T: \textbf{P}^2 \rightarrow \textbf{P}^2[/tex], der [tex]\textbf{P}^2[/tex] er det projektive planet.
Det projektive planet er det samme som [tex]\mathbb{R}^3 \setminus \{{\vec0}\}[/tex] med en ekvivalensrelasjon som sier at to punkter, [tex]\{x_0,x_1,x_2\}[/tex] og [tex]\{y_0,y_1,y_2\}[/tex] representerer det samme punktet dersom det finnes et reelt tall [tex]\lambda > 0[/tex] slik at [tex]\{x_0,x_1,x_2\} = \{ \lambda y_0, \lambda y_1 , \lambda y_2 \}[/tex]
Transformasjoner [tex]T: \textbf{P}^2 \rightarrow \textbf{P}^2[/tex] er også affine transformasjoner. Det fine med det er at de kan representere både lineære transformasjoner, men også translasjoner, i [tex]\mathbb{R}^2[/tex]
I oppgave b) ber de deg finne en transformasjon som translaterer den første koordinaten med -2 og den andre med -3. Dette er ikke en linær transformasjon, men en translasjon. Vi kan dermed bruke en affin transformasjon.
Hvis vi utvider et punkt i [tex]\mathbb{R}^2[/tex], [tex]\{x_0,x_1\}[/tex] til et punkt i det projektive planet, for eksempel [tex]\{x_0,x_1,1\}[/tex], så ser vi at ved å multiplisere matrisen din med punktet så får man:
[tex]\begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_0\\x_1\\1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_0-2 \\ x_1-3 \\ 1 \end{bmatrix}[/tex]
Det viser at matrisen translaterer den første koordinaten med -2 og den andre med -3, som ønsket.
Det er riktig at man ikke kan representere en transformasjon [tex]T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2[/tex] med en 3x3-matrise.
For at matrisemultiplikasjon skal være definert så må det være like mange kolonner i den første matrisen som rader i den andre. Det er derfor ikke gyldig å multiplisere en 3x3-matrise med en 2x1-matrise (kolonnevektor).
Skjønt man kan jo alltids tenke seg at 2x1-vektoren lever i et plan i et 3-dimensjonelt rom, og dermed utvide den til en 3x1-vektor.
Siden du nevner homogene koordinater så mistenker jeg heller at det menes en transformasjon [tex]T: \textbf{P}^2 \rightarrow \textbf{P}^2[/tex], der [tex]\textbf{P}^2[/tex] er det projektive planet.
Det projektive planet er det samme som [tex]\mathbb{R}^3 \setminus \{{\vec0}\}[/tex] med en ekvivalensrelasjon som sier at to punkter, [tex]\{x_0,x_1,x_2\}[/tex] og [tex]\{y_0,y_1,y_2\}[/tex] representerer det samme punktet dersom det finnes et reelt tall [tex]\lambda > 0[/tex] slik at [tex]\{x_0,x_1,x_2\} = \{ \lambda y_0, \lambda y_1 , \lambda y_2 \}[/tex]
Transformasjoner [tex]T: \textbf{P}^2 \rightarrow \textbf{P}^2[/tex] er også affine transformasjoner. Det fine med det er at de kan representere både lineære transformasjoner, men også translasjoner, i [tex]\mathbb{R}^2[/tex]
I oppgave b) ber de deg finne en transformasjon som translaterer den første koordinaten med -2 og den andre med -3. Dette er ikke en linær transformasjon, men en translasjon. Vi kan dermed bruke en affin transformasjon.
Hvis vi utvider et punkt i [tex]\mathbb{R}^2[/tex], [tex]\{x_0,x_1\}[/tex] til et punkt i det projektive planet, for eksempel [tex]\{x_0,x_1,1\}[/tex], så ser vi at ved å multiplisere matrisen din med punktet så får man:
[tex]\begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_0\\x_1\\1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_0-2 \\ x_1-3 \\ 1 \end{bmatrix}[/tex]
Det viser at matrisen translaterer den første koordinaten med -2 og den andre med -3, som ønsket.